對稱群英文解釋翻譯、對稱群的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 symmetric group

分詞翻譯：

對稱的英語翻譯：

symmetry
【化】 symmetry
【醫】 symmetry

群的英語翻譯：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【醫】 group; herd

專業解析

對稱群（Symmetric Group）是群論中的核心概念，指由某集合上所有雙射變換（即一一對應的映射）構成的群。在數學中，n次對稱群通常記作( S_n )，其元素為n個元素的置換操作，群運算為置換的合成。例如，集合( {1,2,3} )的對稱群( S_3 )包含6種不同的排列方式。

對稱群的研究起源于19世紀伽羅瓦理論，用于描述多項式方程的根對稱性。其結構特性包括：群階為( n! )、非交換性（當( n geq 3 )時）、包含循環置換與對換等基本生成元。凱萊定理指出，任何有限群均與某個對稱群的子群同構。

在幾何學中，對稱群可延伸為描述圖形對稱性的變換群，如正三角形的二面體群( D_3 )是( S_3 )的子群。現代應用涵蓋晶體學（空間群分類）、量子力學（全同粒子交換對稱性）和密碼學（置換網絡設計）等領域。

網絡擴展解釋

對稱群是數學中群論的重要概念，通常指特定集合上所有對稱變換構成的群。以下是核心要點解析：

1. 基本定義 對稱群（Symmetric Group）指一個集合上所有雙射變換（即一一對應的可逆映射）構成的群，記作$S_n$。其中：

• $n$表示集合元素個數（如集合${1,2,...,n}$）
• 群元素是置換操作，即對集合元素的重新排列方式
• 群階為$n!$，例如$S_3$有$3! = 6$個元素

2. 群運算規則

• 運算：置換的複合（連續執行兩個置換）
• 單位元：恒等置換（不改變元素順序）
• 逆元：逆向置換操作

3. 置換的表示方法 常用兩種方式：

• 兩行記號：如$sigma = begin{pmatrix}1&2&32&3&1end{pmatrix}$表示1→2，2→3，3→1
• 循環分解：将置換分解為不相交循環，例如上述$sigma$可寫成$(1 2 3)$

4. 重要性質

• 非交換性：當$n geq 3$時，$S_n$是非阿貝爾群（群運算不滿足交換律）
• 子群結構：包含交錯群$A_n$（由所有偶置換構成，階為$n!/2$）
• 生成元：可用相鄰對換$(i i+1)$生成整個群

5. 應用領域

• 伽羅瓦理論：研究多項式方程根式解
• 晶體學：描述晶體結構對稱性
• 組合數學：分析排列組合問題
• 密碼學：構造置換網絡等加密組件

示例說明 以$S_3$為例，其6個元素對應三角形所有對稱變換：

• 恒等置換
• 2種旋轉（120°和240°）
• 3種反射（關于3條對稱軸）

數學表達式示例： $$ S_3 = {e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} $$ 其中$(1 2 3)$表示循環置換，滿足$(1 2 3) = e$。

分類

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