对称群英文解释翻译、对称群的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 symmetric group

分词翻译：

对称的英语翻译：

symmetry
【化】 symmetry
【医】 symmetry

群的英语翻译：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

专业解析

对称群（Symmetric Group）是群论中的核心概念，指由某集合上所有双射变换（即一一对应的映射）构成的群。在数学中，n次对称群通常记作( S_n )，其元素为n个元素的置换操作，群运算为置换的合成。例如，集合( {1,2,3} )的对称群( S_3 )包含6种不同的排列方式。

对称群的研究起源于19世纪伽罗瓦理论，用于描述多项式方程的根对称性。其结构特性包括：群阶为( n! )、非交换性（当( n geq 3 )时）、包含循环置换与对换等基本生成元。凯莱定理指出，任何有限群均与某个对称群的子群同构。

在几何学中，对称群可延伸为描述图形对称性的变换群，如正三角形的二面体群( D_3 )是( S_3 )的子群。现代应用涵盖晶体学（空间群分类）、量子力学（全同粒子交换对称性）和密码学（置换网络设计）等领域。

网络扩展解释

对称群是数学中群论的重要概念，通常指特定集合上所有对称变换构成的群。以下是核心要点解析：

1. 基本定义 对称群（Symmetric Group）指一个集合上所有双射变换（即一一对应的可逆映射）构成的群，记作$S_n$。其中：

• $n$表示集合元素个数（如集合${1,2,...,n}$）
• 群元素是置换操作，即对集合元素的重新排列方式
• 群阶为$n!$，例如$S_3$有$3! = 6$个元素

2. 群运算规则

• 运算：置换的复合（连续执行两个置换）
• 单位元：恒等置换（不改变元素顺序）
• 逆元：逆向置换操作

3. 置换的表示方法 常用两种方式：

• 两行记号：如$sigma = begin{pmatrix}1&2&32&3&1end{pmatrix}$表示1→2，2→3，3→1
• 循环分解：将置换分解为不相交循环，例如上述$sigma$可写成$(1 2 3)$

4. 重要性质

• 非交换性：当$n geq 3$时，$S_n$是非阿贝尔群（群运算不满足交换律）
• 子群结构：包含交错群$A_n$（由所有偶置换构成，阶为$n!/2$）
• 生成元：可用相邻对换$(i i+1)$生成整个群

5. 应用领域

• 伽罗瓦理论：研究多项式方程根式解
• 晶体学：描述晶体结构对称性
• 组合数学：分析排列组合问题
• 密码学：构造置换网络等加密组件

示例说明 以$S_3$为例，其6个元素对应三角形所有对称变换：

• 恒等置换
• 2种旋转（120°和240°）
• 3种反射（关于3条对称轴）

数学表达式示例： $$ S_3 = {e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} $$ 其中$(1 2 3)$表示循环置换，满足$(1 2 3) = e$。

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