對偶最優解英文解釋翻譯、對偶最優解的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 dual optimal solution

分詞翻譯：

對偶的英語翻譯：

【計】 antithetic
【醫】 allelo-

最的英語翻譯：

best of all; furthest; most

優的英語翻譯：

actor; excellent
【醫】 eu-

解的英語翻譯：

dispel; divide; separate; solution; explain; relieve oneself; send under guard
unbind; uncoil; understand
【醫】 ant-; anti-

專業解析

對偶最優解（Dual Optimal Solution）是數學優化理論，特别是線性規劃和對偶理論中的一個核心概念。它源于一個優化問題（稱為原始問題）的對偶問題，并與之緊密關聯。

從漢英詞典角度解析：

對偶 (duì ǒu / Dual): 指成對出現、相互關聯且具有特定對稱性質的兩個事物。在優化中，指原始優化問題與其通過特定變換（如拉格朗日對偶）派生出的另一個優化問題之間的關系。這對問題共享相同的核心數據（如約束系數、目标系數），但形式（如最小化變最大化、約束方向改變）和變量不同。
最優解 (zuì yōu jiě / Optimal Solution): 指在滿足所有約束條件下，使目标函數達到最優值（最小值或最大值）的決策變量取值。
對偶最優解 (duì ǒu zuì yōu jiě / Dual Optimal Solution): 特指對偶問題的最優解。它不僅是求解對偶問題的結果，更蘊含着關于原始問題的重要經濟或數學信息（如資源的影子價格、約束的緊緻性）。

詳細含義與重要性：

定義與關系：
- 給定一個優化問題（原始問題，如最小化成本），可以構造一個與之對應的對偶問題（如最大化某種收益）。
- 原始問題和對偶問題共享相同的參數矩陣，但目标函數和約束的形式通常是“對稱”或“對偶”的。
- 對偶最優解是指這個對偶問題的最優解，通常用一組變量（如拉格朗日乘子、對偶變量）表示。
核心特性 - 對偶性：
- 弱對偶性 (Weak Duality): 對于任何原始問題的可行解和對偶問題的可行解，原始問題的目标函數值不小于（最小化問題）或不大于（最大化問題）對偶問題的目标函數值。這意味着對偶問題的最優值提供了原始問題最優值的下界（最小化）或上界（最大化）。
- 強對偶性 (Strong Duality): 在滿足某些條件（如凸優化問題滿足Slater條件）時，原始問題的最優值和對偶問題的最優值相等。此時，原始最優解和對偶最優解同時存在，并且滿足互補松弛條件 (Complementary Slackness)。這是理解對偶最優解價值的關鍵。
對偶最優解的意義（經濟學解釋 - 影子價格）：
- 線上性規劃中，對偶最優解 $lambda^$ 的分量 $lambda_i^$ 具有重要的經濟學解釋：它代表了第 $i$ 項資源（對應原始問題的一個約束）的影子價格 (Shadow Price)。
- 影子價格 $lambda_i^*$ 表示當第 $i$ 項資源的可用量 $b_i$ 發生微小增加時，原始問題最優目标函數值（如最大利潤或最小成本）的改善量（增加或減少的量）。
- 例如，在資源分配問題中，如果 $lambda_i^ > 0$，說明該資源是稀缺的（約束是緊的），增加該資源能帶來價值；如果 $lambda_i^ = 0$，說明該資源有冗餘（約束是松的），增加它不會帶來額外價值。
數學表達（以标準形式線性規劃為例）：
- 原始問題 (Primal Problem - 最小化形式): $$ begin{aligned} min_{x} quad & c^T x text{s.t.} quad & A x geq b & x geq 0 end{aligned} $$
- 對偶問題 (Dual Problem - 最大化形式): $$ begin{aligned} max_{lambda} quad & b^T lambda text{s.t.} quad & A^T lambda leq c & lambda geq 0 $$
- 對偶最優解：滿足對偶問題所有約束且使目标函數 $b^T lambda$ 達到最大值的向量 $lambda^*$。
- 強對偶成立時： $c^T x^ = b^T lambda^$，其中 $x^*$ 是原始最優解。
- 互補松弛條件： $(A x^ - b)^T lambda^ = 0$ 且 $(c - A^T lambda^)^T x^ = 0$。這意味着對于每個約束，要麼約束在原始最優解處取等（緊約束），要麼對應的對偶最優變量為零（或兩者同時成立）。
應用價值：
- 敏感性分析：對偶最優解（影子價格）是進行敏感性分析或後最優分析的基礎，用于評估模型參數（如資源限量 $b$）變化對最優解的影響。
- 算法設計：許多優化算法（如單純形法、某些内點法）會同時求解原始問題和對偶問題，或者利用對偶信息加速收斂或驗證最優性。
- 經濟決策：影子價格為管理者提供了關于資源内在價值的定量信息，輔助資源采購、定價等決策。
- 理論基石：對偶理論是凸優化、運籌學、經濟學等領域的重要理論基礎，支撐着如KKT條件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions）等更一般的優化理論框架。

對偶最優解 $lambda^$ 是原始優化問題對應的對偶問題的最優解。它不僅是求解對偶問題的結果，更通過強對偶性和互補松弛條件與原始最優解 $x^$ 緊密相連。其核心價值在于提供了關于原始問題約束的邊際價值信息（影子價格），是進行敏感性分析、理解資源稀缺性、指導經濟決策以及發展優化算法的關鍵概念。

網絡擴展解釋

對偶最優解是線性規劃與對偶理論中的核心概念，指在對偶問題中使目标函數達到最優值的解。以下從定義、性質及求解方法等方面綜合解釋：

1.基本定義與關系

在原問題與對偶問題的框架下，兩者通過強對偶定理關聯：若原問題和對偶問題均有可行解，則它們的最優目标函數值相等。例如，原問題為最小化目标函數，對偶問題則為最大化，兩者最優解對應的目标值相同。
對偶最優解的存在性要求原問題目标函數在可行域内有界，且滿足互補松弛性條件（即原問題約束的松弛變量與對偶變量乘積為零）。

2.求解方法

互補松弛性法：通過原問題的最優解推導對偶最優解。若原問題某約束為嚴格不等式（即松弛變量非零），則對應的對偶變量為零；若約束為等式，則對偶變量可能非零。
單純形法關聯：原問題的最優單純形表中，松弛變量的檢驗數取相反數即為對偶最優解；也可直接求解對偶問題的單純形表。
次梯度條件：向量是對偶最優解當且僅當它是原問題目标函數在參數變化時的次梯度（廣義梯度），反映成本向量的邊際變化。

3.唯一性與多解性

若原問題有唯一最優解，則對偶問題必存在唯一最優解；若原問題有多個最優解，則對偶問題可能無唯一解。
對偶解的形态與原問題參數相關。例如，當原問題目标函數在參數附近呈線性時，對偶解唯一；若存在多個線性段交界，則對偶解不唯一。

4.應用與意義

對偶最優解常用于靈敏度分析，評估原問題參數（如資源約束）變化對目标值的影響。
在經濟學中，對偶變量可解釋為資源的影子價格，反映資源稀缺性。

對偶最優解不僅是原問題最優解的鏡像，更通過強對偶性、互補松弛性等原理與之深度關聯。其求解方法多樣，且在不同領域的應用中具有實際意義。如需進一步了解定理證明或算法步驟，可參考線性規劃經典教材（如、7來源的書籍）。