对偶最优解英文解释翻译、对偶最优解的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 dual optimal solution

分词翻译：

对偶的英语翻译：

【计】 antithetic
【医】 allelo-

最的英语翻译：

best of all; furthest; most

优的英语翻译：

actor; excellent
【医】 eu-

解的英语翻译：

dispel; divide; separate; solution; explain; relieve oneself; send under guard
unbind; uncoil; understand
【医】 ant-; anti-

专业解析

对偶最优解（Dual Optimal Solution）是数学优化理论，特别是线性规划和对偶理论中的一个核心概念。它源于一个优化问题（称为原始问题）的对偶问题，并与之紧密关联。

从汉英词典角度解析：

对偶 (duì ǒu / Dual): 指成对出现、相互关联且具有特定对称性质的两个事物。在优化中，指原始优化问题与其通过特定变换（如拉格朗日对偶）派生出的另一个优化问题之间的关系。这对问题共享相同的核心数据（如约束系数、目标系数），但形式（如最小化变最大化、约束方向改变）和变量不同。
最优解 (zuì yōu jiě / Optimal Solution): 指在满足所有约束条件下，使目标函数达到最优值（最小值或最大值）的决策变量取值。
对偶最优解 (duì ǒu zuì yōu jiě / Dual Optimal Solution): 特指对偶问题的最优解。它不仅是求解对偶问题的结果，更蕴含着关于原始问题的重要经济或数学信息（如资源的影子价格、约束的紧致性）。

详细含义与重要性：

定义与关系：
- 给定一个优化问题（原始问题，如最小化成本），可以构造一个与之对应的对偶问题（如最大化某种收益）。
- 原始问题和对偶问题共享相同的参数矩阵，但目标函数和约束的形式通常是“对称”或“对偶”的。
- 对偶最优解是指这个对偶问题的最优解，通常用一组变量（如拉格朗日乘子、对偶变量）表示。
核心特性 - 对偶性：
- 弱对偶性 (Weak Duality): 对于任何原始问题的可行解和对偶问题的可行解，原始问题的目标函数值不小于（最小化问题）或不大于（最大化问题）对偶问题的目标函数值。这意味着对偶问题的最优值提供了原始问题最优值的下界（最小化）或上界（最大化）。
- 强对偶性 (Strong Duality): 在满足某些条件（如凸优化问题满足Slater条件）时，原始问题的最优值和对偶问题的最优值相等。此时，原始最优解和对偶最优解同时存在，并且满足互补松弛条件 (Complementary Slackness)。这是理解对偶最优解价值的关键。
对偶最优解的意义（经济学解释 - 影子价格）：
- 在线性规划中，对偶最优解 $lambda^$ 的分量 $lambda_i^$ 具有重要的经济学解释：它代表了第 $i$ 项资源（对应原始问题的一个约束）的影子价格 (Shadow Price)。
- 影子价格 $lambda_i^*$ 表示当第 $i$ 项资源的可用量 $b_i$ 发生微小增加时，原始问题最优目标函数值（如最大利润或最小成本）的改善量（增加或减少的量）。
- 例如，在资源分配问题中，如果 $lambda_i^ > 0$，说明该资源是稀缺的（约束是紧的），增加该资源能带来价值；如果 $lambda_i^ = 0$，说明该资源有冗余（约束是松的），增加它不会带来额外价值。
数学表达（以标准形式线性规划为例）：
- 原始问题 (Primal Problem - 最小化形式): $$ begin{aligned} min_{x} quad & c^T x text{s.t.} quad & A x geq b & x geq 0 end{aligned} $$
- 对偶问题 (Dual Problem - 最大化形式): $$ begin{aligned} max_{lambda} quad & b^T lambda text{s.t.} quad & A^T lambda leq c & lambda geq 0 $$
- 对偶最优解：满足对偶问题所有约束且使目标函数 $b^T lambda$ 达到最大值的向量 $lambda^*$。
- 强对偶成立时： $c^T x^ = b^T lambda^$，其中 $x^*$ 是原始最优解。
- 互补松弛条件： $(A x^ - b)^T lambda^ = 0$ 且 $(c - A^T lambda^)^T x^ = 0$。这意味着对于每个约束，要么约束在原始最优解处取等（紧约束），要么对应的对偶最优变量为零（或两者同时成立）。
应用价值：
- 敏感性分析：对偶最优解（影子价格）是进行敏感性分析或后最优分析的基础，用于评估模型参数（如资源限量 $b$）变化对最优解的影响。
- 算法设计：许多优化算法（如单纯形法、某些内点法）会同时求解原始问题和对偶问题，或者利用对偶信息加速收敛或验证最优性。
- 经济决策：影子价格为管理者提供了关于资源内在价值的定量信息，辅助资源采购、定价等决策。
- 理论基石：对偶理论是凸优化、运筹学、经济学等领域的重要理论基础，支撑着如KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions）等更一般的优化理论框架。

对偶最优解 $lambda^$ 是原始优化问题对应的对偶问题的最优解。它不仅是求解对偶问题的结果，更通过强对偶性和互补松弛条件与原始最优解 $x^$ 紧密相连。其核心价值在于提供了关于原始问题约束的边际价值信息（影子价格），是进行敏感性分析、理解资源稀缺性、指导经济决策以及发展优化算法的关键概念。

网络扩展解释

对偶最优解是线性规划与对偶理论中的核心概念，指在对偶问题中使目标函数达到最优值的解。以下从定义、性质及求解方法等方面综合解释：

1.基本定义与关系

在原问题与对偶问题的框架下，两者通过强对偶定理关联：若原问题和对偶问题均有可行解，则它们的最优目标函数值相等。例如，原问题为最小化目标函数，对偶问题则为最大化，两者最优解对应的目标值相同。
对偶最优解的存在性要求原问题目标函数在可行域内有界，且满足互补松弛性条件（即原问题约束的松弛变量与对偶变量乘积为零）。

2.求解方法

互补松弛性法：通过原问题的最优解推导对偶最优解。若原问题某约束为严格不等式（即松弛变量非零），则对应的对偶变量为零；若约束为等式，则对偶变量可能非零。
单纯形法关联：原问题的最优单纯形表中，松弛变量的检验数取相反数即为对偶最优解；也可直接求解对偶问题的单纯形表。
次梯度条件：向量是对偶最优解当且仅当它是原问题目标函数在参数变化时的次梯度（广义梯度），反映成本向量的边际变化。

3.唯一性与多解性

若原问题有唯一最优解，则对偶问题必存在唯一最优解；若原问题有多个最优解，则对偶问题可能无唯一解。
对偶解的形态与原问题参数相关。例如，当原问题目标函数在参数附近呈线性时，对偶解唯一；若存在多个线性段交界，则对偶解不唯一。

4.应用与意义

对偶最优解常用于灵敏度分析，评估原问题参数（如资源约束）变化对目标值的影响。
在经济学中，对偶变量可解释为资源的影子价格，反映资源稀缺性。

对偶最优解不仅是原问题最优解的镜像，更通过强对偶性、互补松弛性等原理与之深度关联。其求解方法多样，且在不同领域的应用中具有实际意义。如需进一步了解定理证明或算法步骤，可参考线性规划经典教材（如、7来源的书籍）。