偶數環英文解釋翻譯、偶數環的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 even loop

分詞翻譯：

偶數的英語翻譯：

【計】 even; even number

環的英語翻譯：

annulus; hem in; link; loop; ring; surround
【計】 ring up; toroid
【化】 ring
【醫】 annuli; anulus; band; circle; circulus; cycle; cyclo-; gyro-; loop; orb
ring; verge

專業解析

在數學抽象代數領域中，"偶數環"（Even Number Ring）指由全體偶數構成的特殊代數結構，記作( 2mathbb{Z} )。該集合對加法運算封閉，且滿足環的公理條件。其核心特征包括：

構成元素
定義為( { ..., -4, -2, 0, 2, 4, ... } )，每個元素均可表示為( 2k )（( k in mathbb{Z} )）。該集合缺失乘法單位元，因此屬于無幺環（Non-unital ring）範疇。
代數結構特性
- 加法交換群：滿足封閉性、結合律、存在零元（0）、每個元素有逆元（如2的逆元為-2）
- 乘法半群：保持封閉性和結合律，但不可逆元素存在
- 吸收律：( forall a in 2mathbb{Z}, r in mathbb{Z}, 2r cdot a in 2mathbb{Z} )
漢英術語對照

中文術語英文對應

偶數環 Ring of even integers

生成元 Generator

理想 Ideal

整環 Integral domain
應用場景
作為整數環( mathbb{Z} )的主理想，偶數環是研究模運算、環同态和理想結構的基礎案例，常用于密碼學中的模約減算法設計。其擴展形式( nmathbb{Z} )（n為任意整數）構成了環論中理想概念的典範說明。

中文術語	英文對應
偶數環	Ring of even integers
生成元	Generator
理想	Ideal
整環	Integral domain

網絡擴展解釋

偶數環是抽象代數中的一個重要概念，其定義和性質可綜合以下要點解釋：

1. 基本定義

偶數環指由全體偶數構成的集合，記作 (2mathbb{Z} = { dots, -4, -2, 0, 2, 4, dots })，配備整數的加法（+）和乘法（·）運算。它滿足環的公理：

加法交換群：對加法封閉，存在加法單位元（0），每個元素有負元（如 (-2) 是 (2) 的負元）。
乘法結合律：滿足 ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))。
分配律：乘法對加法滿足左、右分配律，即 (a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c) 及 ((a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c)。

2. 代數結構特點

無單位元：整數環 (mathbb{Z}) 的單位元是 (1)，但 (1 otin 2mathbb{Z})，因此偶數環中不存在乘法單位元。
無零因子：若 (a, b in 2mathbb{Z}) 且 (a cdot b = 0)，則必有 (a=0) 或 (b=0)，因此它是無零因子環。但嚴格來說，整環（Integral Domain）需同時滿足有單位元和無零因子，故偶數環并非整環。

3. 作為子環與理想

子環：偶數環是整數環 (mathbb{Z}) 的子環，因為它對加法和乘法封閉，且包含原環的運算結構。
主理想：偶數環是 (mathbb{Z}) 的一個主理想，由元素 (2) 生成（即所有能被 (2) 整除的數）。理想的性質使其在環論中具有吸收性：對任意 (a in 2mathbb{Z}) 和 (r in mathbb{Z})，有 (a cdot r in 2mathbb{Z})。

4. 與其他環的對比

與整數環：整數環有單位元且是整環，而偶數環無單位元，但兩者均無零因子。
與多項式環：多項式環通常有單位元，而偶數環的結構更簡單，僅包含偶數元素。

偶數環是一個典型的無單位元、無零因子的交換環，作為整數環的子環和主理想，它在環論中常用于研究理想結構和環的分類。