偶数环英文解释翻译、偶数环的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 even loop

分词翻译：

偶数的英语翻译：

【计】 even; even number

环的英语翻译：

annulus; hem in; link; loop; ring; surround
【计】 ring up; toroid
【化】 ring
【医】 annuli; anulus; band; circle; circulus; cycle; cyclo-; gyro-; loop; orb
ring; verge

专业解析

在数学抽象代数领域中，"偶数环"（Even Number Ring）指由全体偶数构成的特殊代数结构，记作( 2mathbb{Z} )。该集合对加法运算封闭，且满足环的公理条件。其核心特征包括：

构成元素
定义为( { ..., -4, -2, 0, 2, 4, ... } )，每个元素均可表示为( 2k )（( k in mathbb{Z} )）。该集合缺失乘法单位元，因此属于无幺环（Non-unital ring）范畴。
代数结构特性
- 加法交换群：满足封闭性、结合律、存在零元（0）、每个元素有逆元（如2的逆元为-2）
- 乘法半群：保持封闭性和结合律，但不可逆元素存在
- 吸收律：( forall a in 2mathbb{Z}, r in mathbb{Z}, 2r cdot a in 2mathbb{Z} )
汉英术语对照

中文术语英文对应

偶数环 Ring of even integers

生成元 Generator

理想 Ideal

整环 Integral domain
应用场景
作为整数环( mathbb{Z} )的主理想，偶数环是研究模运算、环同态和理想结构的基础案例，常用于密码学中的模约减算法设计。其扩展形式( nmathbb{Z} )（n为任意整数）构成了环论中理想概念的典范说明。

中文术语	英文对应
偶数环	Ring of even integers
生成元	Generator
理想	Ideal
整环	Integral domain

网络扩展解释

偶数环是抽象代数中的一个重要概念，其定义和性质可综合以下要点解释：

1. 基本定义

偶数环指由全体偶数构成的集合，记作 (2mathbb{Z} = { dots, -4, -2, 0, 2, 4, dots })，配备整数的加法（+）和乘法（·）运算。它满足环的公理：

加法交换群：对加法封闭，存在加法单位元（0），每个元素有负元（如 (-2) 是 (2) 的负元）。
乘法结合律：满足 ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))。
分配律：乘法对加法满足左、右分配律，即 (a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c) 及 ((a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c)。

2. 代数结构特点

无单位元：整数环 (mathbb{Z}) 的单位元是 (1)，但 (1 otin 2mathbb{Z})，因此偶数环中不存在乘法单位元。
无零因子：若 (a, b in 2mathbb{Z}) 且 (a cdot b = 0)，则必有 (a=0) 或 (b=0)，因此它是无零因子环。但严格来说，整环（Integral Domain）需同时满足有单位元和无零因子，故偶数环并非整环。

3. 作为子环与理想

子环：偶数环是整数环 (mathbb{Z}) 的子环，因为它对加法和乘法封闭，且包含原环的运算结构。
主理想：偶数环是 (mathbb{Z}) 的一个主理想，由元素 (2) 生成（即所有能被 (2) 整除的数）。理想的性质使其在环论中具有吸收性：对任意 (a in 2mathbb{Z}) 和 (r in mathbb{Z})，有 (a cdot r in 2mathbb{Z})。

4. 与其他环的对比

与整数环：整数环有单位元且是整环，而偶数环无单位元，但两者均无零因子。
与多项式环：多项式环通常有单位元，而偶数环的结构更简单，仅包含偶数元素。

偶数环是一个典型的无单位元、无零因子的交换环，作为整数环的子环和主理想，它在环论中常用于研究理想结构和环的分类。