逆元英文解釋翻譯、逆元的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 inverse element

basic; buck; chief; dollar; first; Yuan
【經】 dollar; yuan

在數學的抽象代數領域中，逆元（英文：Inverse Element）是群論和環論的核心概念之一。若一個元素與其對應的逆元素通過特定二元運算結合後得到該運算的單位元，則稱二者互為逆元。具體定義如下：

加法逆元
對于集合中的元素$a$，若存在元素$b$使得$a + b = b + a = 0$（加法單位元），則$b$稱為$a$的加法逆元，記作$-a$。例如，整數集中的$3$的加法逆元是$-3$。
乘法逆元
在乘法運算下，元素$a$的逆元$b$需滿足$a times b = b times a = 1$（乘法單位元）。例如，有理數集中的$2$的乘法逆元是$frac{1}{2}$。需注意，并非所有元素都有乘法逆元，例如整數集中的$0$無乘法逆元。
存在條件與代數結構
逆元的存在依賴于代數結構的性質。在群（Group）中，每個元素必須存在唯一的逆元；在環（Ring）中，加法逆元必存在，但乘法逆元僅對特定元素（如可逆元）存在。

逆元的概念廣泛應用于密碼學（如模運算中的逆元）、線性代數（矩陣的逆）和物理學對稱性分析等領域。其嚴格定義可參考經典代數教材如《Abstract Algebra》，或數學百科全書MathWorld的相關條目。

逆元是抽象代數中的核心概念，指在特定運算下能與給定元素結合産生單位元的元素。其定義和性質因代數結構不同而有所差異：

一、基本定義在集合S上定義二元運算，若存在元素e滿足： $$ ae = ea = a quad (forall a in S) $$ 則稱e為單位元。當元素a存在b∈S使得： $$ ab = b*a = e $$ 稱b為a的逆元，記作a⁻¹。

二、主要類型

三、模運算中的逆元在模n運算中，a的乘法逆元是滿足： $$ a cdot b equiv 1(mathrm{mod} n) $$ 的整數b。存在條件：a與n互質例：模7下3的逆元是5，因3×5=15≡1 mod7

四、存在性條件

五、應用領域廣泛應用于密碼學（如RSA算法）、糾錯編碼、矩陣運算（可逆矩陣）、物理學對稱性分析等領域。例如在橢圓曲線密碼學中，點運算的逆元定義是保證算法安全性的數學基礎。