梯度算符英文解釋翻譯、梯度算符的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 gra***nt operator

分詞翻譯：

梯的英語翻譯：

ladder; stairs; terraced

度的英語翻譯：

consideration; tolerance; degree; limit; linear measure; surmise; estimate
extent
【計】 degrees; k.w.h.
【化】 dimension; kilowatt hour
【醫】 Deg.; degree
【經】 degree

算符的英語翻譯：

【計】 OP; operator symbol
【化】 operator

專業解析

梯度算符（Gradient Operator）是向量分析中的核心概念，漢英詞典中常以“梯度算符”對應英文“nabla operator”或“del operator”，符號表示為∇。其數學定義為：對于三維空間中的标量場( f(x,y,z) )，梯度算符作用後生成一個向量場，表達式為

abla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} right) $$

該向量方向指向标量場增長最快的速率，模長表示該方向上的變化率。

在物理學中，梯度算符用于描述電勢場、溫度場等物理量的空間變化。例如，靜電場強度( mathbf{E} )與電勢( V )的關系可表示為( mathbf{E} = - abla V )。這一運算特性使其成為電磁學、流體力學等領域的基礎工具。

權威數學文獻如《數學分析原理》（Principles of Mathematical Analysis）指出，梯度算符的嚴格定義依賴于多元函數的偏導數存在性與連續性條件。而工程應用中，《工程數學手冊》（Handbook of Engineering Mathematics）強調其離散化形式在數值模拟中的重要性，如有限差分法中的近似計算。

網絡擴展解釋

梯度算符（符號為$ abla$，讀作“nabla”）是向量分析中的核心概念，主要用于描述标量場在空間中的變化率和方向。以下是詳細解釋：

1.數學定義

在三維笛卡爾坐标系中，梯度算符定義為： $$

abla = left( frac{partial}{partial x}, frac{partial}{partial y}, frac{partial}{partial z} right) $$ 當作用于一個标量函數$f(x,y,z)$時，梯度表示為： $$

abla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} right) $$ 結果是一個向量，指向标量場增長最快的方向，其模長為該方向的最大變化率。

2.幾何意義

梯度向量垂直于标量場的等值面（如等高線、等溫面）。例如：

溫度場中，梯度指向溫度升高最快的方向。
地勢場中，梯度指向坡度最陡的上坡方向。

3.物理應用

梯度算符廣泛用于物理場的描述：

電場：電勢$V$的梯度負值給出電場強度，即$mathbf{E} = - abla V$。
熱傳導：熱流方向由溫度梯度$ abla T$決定。
流體力學：壓力梯度驅動流體流動。

4.與其他算符的關系

梯度是向量微分算符的一種形式，與以下算符共同構成向量分析的基礎：

散度（$ abla cdot mathbf{F}$）：描述向量場的“發散程度”。
旋度（$ abla times mathbf{F}$）：描述向量場的旋轉特性。

5.擴展說明

坐标系擴展：在柱坐标、球坐标中，梯度表達式形式不同（需用拉梅系數推導）。
機器學習：梯度下降法利用梯度方向尋找函數最小值，是優化算法的核心。

示例

若$f(x,y,z) = x + y + z$，則： $$

abla f = (2x, 2y, 2z) $$ 表示從原點向外輻射的向量場，模長隨距離線性增長。

梯度算符的本質是将标量場的變化信息編碼為向量，是連接标量與向量場的橋梁，廣泛應用于自然科學和工程領域。