逆元英文解释翻译、逆元的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 inverse element

basic; buck; chief; dollar; first; Yuan
【经】 dollar; yuan

在数学的抽象代数领域中，逆元（英文：Inverse Element）是群论和环论的核心概念之一。若一个元素与其对应的逆元素通过特定二元运算结合后得到该运算的单位元，则称二者互为逆元。具体定义如下：

加法逆元
对于集合中的元素$a$，若存在元素$b$使得$a + b = b + a = 0$（加法单位元），则$b$称为$a$的加法逆元，记作$-a$。例如，整数集中的$3$的加法逆元是$-3$。
乘法逆元
在乘法运算下，元素$a$的逆元$b$需满足$a times b = b times a = 1$（乘法单位元）。例如，有理数集中的$2$的乘法逆元是$frac{1}{2}$。需注意，并非所有元素都有乘法逆元，例如整数集中的$0$无乘法逆元。
存在条件与代数结构
逆元的存在依赖于代数结构的性质。在群（Group）中，每个元素必须存在唯一的逆元；在环（Ring）中，加法逆元必存在，但乘法逆元仅对特定元素（如可逆元）存在。

逆元的概念广泛应用于密码学（如模运算中的逆元）、线性代数（矩阵的逆）和物理学对称性分析等领域。其严格定义可参考经典代数教材如《Abstract Algebra》，或数学百科全书MathWorld的相关条目。

逆元是抽象代数中的核心概念，指在特定运算下能与给定元素结合产生单位元的元素。其定义和性质因代数结构不同而有所差异：

一、基本定义在集合S上定义二元运算，若存在元素e满足： $$ ae = ea = a quad (forall a in S) $$ 则称e为单位元。当元素a存在b∈S使得： $$ ab = b*a = e $$ 称b为a的逆元，记作a⁻¹。

二、主要类型

三、模运算中的逆元在模n运算中，a的乘法逆元是满足： $$ a cdot b equiv 1(mathrm{mod} n) $$ 的整数b。存在条件：a与n互质例：模7下3的逆元是5，因3×5=15≡1 mod7

四、存在性条件

五、应用领域广泛应用于密码学（如RSA算法）、纠错编码、矩阵运算（可逆矩阵）、物理学对称性分析等领域。例如在椭圆曲线密码学中，点运算的逆元定义是保证算法安全性的数学基础。