結合律英文解釋翻譯、結合律的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 associative law; law of association

分詞翻譯：

結合的英語翻譯：

combine; union; tie; band; coalescence; couple; incorporation; inosculate
join; linkup
【計】 coalesce
【醫】 combination; concrescence; conjugation; hapt-; hapto-; junctura
linkage; nexus
【經】 incorporate; incorporation; integration

律的英語翻譯：

law; restrain; rule

專業解析

在數學領域，結合律（英文：Associative Law 或Associativity）是描述二元運算性質的一條基本定律。它指出，當對三個或更多元素進行連續運算時，隻要運算元素的順序不變，運算的結合方式（即括號的位置）不會影響最終結果。

1. 核心定義

中文表述 (結合律)：對于集合 S 上定義的一個二元運算（例如加法 + 或乘法 ×），如果對于 S 中的任意三個元素 a, b, c，都滿足：
- (a + b) + c = a + (b + c) （加法結合律）
- (a × b) × c = a × (b × c) （乘法結合律）則稱該運算在集合 S 上滿足結合律。
英文表述 (Associative Law)： A binary operation ∘ defined on a set S isassociative if for all elements a, b, c in S, the following equation holds:
- (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) 無論先計算 a ∘ b 還是先計算 b ∘ c，隻要順序 a, b, c 不變，最終結果相同。

2. 關鍵特征

關注點：結合律關注的是運算分組的方式（即括號的位置），而不是元素本身的順序（順序由交換律描述）。
作用：結合律允許我們在不改變結果的前提下，自由地添加或移除括號來改變計算的先後順序。這極大地簡化了表達式書寫和計算過程，特别是在處理多個相同運算時（例如，計算多個數的和或積）。
適用範圍：結合律是許多常見運算的基本性質，但并非所有運算都滿足。例如：
- 滿足結合律的運算：數的加法、數的乘法、矩陣加法、矩陣乘法、函數複合等。
- 不滿足結合律的運算：數的減法、數的除法、向量的叉積等。

3. 示例說明

加法結合律：
- (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
- 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
- 結果相同：(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
乘法結合律：
- (3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60
- 3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60
- 結果相同：(3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)

4. 與交換律的區别

結合律 (Associative Law)：關注運算的分組方式（括號位置），确保 (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)。
交換律 (Commutative Law)：關注運算元素的順序，确保 a ∘ b = b ∘ a。
一個運算可以同時滿足結合律和交換律（如數的加法、乘法），也可以隻滿足其一或都不滿足。

5. 數學表達

結合律的标準數學表達式為： $$ (a circ b) circ c = a circ (b circ c) $$ 其中 ∘ 表示定義在集合上的二元運算。

參考來源

《數學辭海》 (中國科學技術出版社, 2002)：對“結合律”有明确定義和詳細解釋，是中文數學工具書的權威代表。
《牛津數學詞典》 (Oxford University Press)：提供 "Associative Law" 的準确定義和示例，是英語世界廣泛認可的數學參考書。
Wolfram MathWorld - Associative：提供結合律的數學定義、性質及相關概念鍊接，是權威的線上數學百科全書。
ISO 80000-2:2019 數學符號标準：國際标準化組織制定的标準，明确定義了結合律相關的數學符號和術語。

網絡擴展解釋

結合律是數學和代數中的基本運算性質之一，指在特定運算下，多個元素進行運算的順序不影響最終結果。具體來說：

定義
對于集合上的二元運算（如加法或乘法），若滿足對任意三個元素 (a, b, c)，等式
$$(a circ b) circ c = a circ (b circ c)$$
成立（其中 (circ) 表示某種運算），則該運算滿足結合律。
與交換律的區别
結合律關注的是運算順序（括號的位置），而交換律（如 (a circ b = b circ a)）關注的是元素順序。例如：
- 加法同時滿足結合律和交換律：((a + b) + c = a + (b + c))，且 (a + b = b + a)。
- 矩陣乘法滿足結合律但不滿足交換律。
常見例子
- 滿足結合律的運算：
  - 實數加法：((1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6)
  - 實數乘法：((2 times 3) times 4 = 2 times (3 times 4) = 24)
  - 集合的交集、并集運算。
- 不滿足結合律的運算：
  - 減法：((5 - 3) - 1 = 1)，而 (5 - (3 - 1) = 3)
  - 除法：((12 div 4) div 2 = 1.5)，而 (12 div (4 div 2) = 6)
應用意義
結合律允許我們簡化表達式中的括號。例如，在多項式運算或編程中，無需明确指定計算順序，可自由組合操作步驟。它也是群、環等代數結構定義中的核心條件之一。

總結來看，結合律是運算能否“自由組合”的關鍵性質，但需注意它不涉及元素位置的交換。