结合律英文解释翻译、结合律的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 associative law; law of association

分词翻译：

结合的英语翻译：

combine; union; tie; band; coalescence; couple; incorporation; inosculate
join; linkup
【计】 coalesce
【医】 combination; concrescence; conjugation; hapt-; hapto-; junctura
linkage; nexus
【经】 incorporate; incorporation; integration

律的英语翻译：

law; restrain; rule

专业解析

在数学领域，结合律（英文：Associative Law 或Associativity）是描述二元运算性质的一条基本定律。它指出，当对三个或更多元素进行连续运算时，只要运算元素的顺序不变，运算的结合方式（即括号的位置）不会影响最终结果。

1. 核心定义

中文表述 (结合律)：对于集合 S 上定义的一个二元运算（例如加法 + 或乘法 ×），如果对于 S 中的任意三个元素 a, b, c，都满足：
- (a + b) + c = a + (b + c) （加法结合律）
- (a × b) × c = a × (b × c) （乘法结合律）则称该运算在集合 S 上满足结合律。
英文表述 (Associative Law)： A binary operation ∘ defined on a set S isassociative if for all elements a, b, c in S, the following equation holds:
- (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) 无论先计算 a ∘ b 还是先计算 b ∘ c，只要顺序 a, b, c 不变，最终结果相同。

2. 关键特征

关注点：结合律关注的是运算分组的方式（即括号的位置），而不是元素本身的顺序（顺序由交换律描述）。
作用：结合律允许我们在不改变结果的前提下，自由地添加或移除括号来改变计算的先后顺序。这极大地简化了表达式书写和计算过程，特别是在处理多个相同运算时（例如，计算多个数的和或积）。
适用范围：结合律是许多常见运算的基本性质，但并非所有运算都满足。例如：
- 满足结合律的运算：数的加法、数的乘法、矩阵加法、矩阵乘法、函数复合等。
- 不满足结合律的运算：数的减法、数的除法、向量的叉积等。

3. 示例说明

加法结合律：
- (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
- 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
- 结果相同：(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
乘法结合律：
- (3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60
- 3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60
- 结果相同：(3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)

4. 与交换律的区别

结合律 (Associative Law)：关注运算的分组方式（括号位置），确保 (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)。
交换律 (Commutative Law)：关注运算元素的顺序，确保 a ∘ b = b ∘ a。
一个运算可以同时满足结合律和交换律（如数的加法、乘法），也可以只满足其一或都不满足。

5. 数学表达

结合律的标准数学表达式为： $$ (a circ b) circ c = a circ (b circ c) $$ 其中 ∘ 表示定义在集合上的二元运算。

参考来源

《数学辞海》 (中国科学技术出版社, 2002)：对“结合律”有明确定义和详细解释，是中文数学工具书的权威代表。
《牛津数学词典》 (Oxford University Press)：提供 "Associative Law" 的准确定义和示例，是英语世界广泛认可的数学参考书。
Wolfram MathWorld - Associative：提供结合律的数学定义、性质及相关概念链接，是权威的在线数学百科全书。
ISO 80000-2:2019 数学符号标准：国际标准化组织制定的标准，明确定义了结合律相关的数学符号和术语。

网络扩展解释

结合律是数学和代数中的基本运算性质之一，指在特定运算下，多个元素进行运算的顺序不影响最终结果。具体来说：

定义
对于集合上的二元运算（如加法或乘法），若满足对任意三个元素 (a, b, c)，等式
$$(a circ b) circ c = a circ (b circ c)$$
成立（其中 (circ) 表示某种运算），则该运算满足结合律。
与交换律的区别
结合律关注的是运算顺序（括号的位置），而交换律（如 (a circ b = b circ a)）关注的是元素顺序。例如：
- 加法同时满足结合律和交换律：((a + b) + c = a + (b + c))，且 (a + b = b + a)。
- 矩阵乘法满足结合律但不满足交换律。
常见例子
- 满足结合律的运算：
  - 实数加法：((1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6)
  - 实数乘法：((2 times 3) times 4 = 2 times (3 times 4) = 24)
  - 集合的交集、并集运算。
- 不满足结合律的运算：
  - 减法：((5 - 3) - 1 = 1)，而 (5 - (3 - 1) = 3)
  - 除法：((12 div 4) div 2 = 1.5)，而 (12 div (4 div 2) = 6)
应用意义
结合律允许我们简化表达式中的括号。例如，在多项式运算或编程中，无需明确指定计算顺序，可自由组合操作步骤。它也是群、环等代数结构定义中的核心条件之一。

总结来看，结合律是运算能否“自由组合”的关键性质，但需注意它不涉及元素位置的交换。