加權平方和英文解釋翻譯、加權平方和的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 weighted sum of squares

【計】 weighting
【經】 weighting

【計】 quadratic sum

在統計學和數學建模中，加權平方和（Weighted Sum of Squares）是一個核心概念，用于衡量一組數據點偏離某個中心值（如均值或拟合值）的程度，其中每個數據點的貢獻根據其重要性或可靠性被賦予不同的權重。其核心含義可拆解如下：

平方和：指将每個數據點與目标值（如均值）的偏差（差值）進行平方，然後求和。平方操作消除了偏差的符號（正負），并放大了較大偏差的影響。
- 公式基礎：$$sum_{i=1}^{n} (x_i - mu)$$ (其中 $x_i$ 是數據點，$mu$ 是目标值，如均值)
加權：指在計算平方和時，為每個數據點的平方偏差賦予一個特定的權重系數 $w_i$。權重 $w_i$ 通常是非負的，反映了該數據點在整體計算中的相對重要性或可信度。
- 重要性高的點（或可靠性高的點）賦予較大的權重，其在平方和中的貢獻就更大。
- 重要性低的點（或可靠性低的點）賦予較小的權重，其在平方和中的貢獻就更小。
- 如果所有權重 $w_i = 1$，則加權平方和退化為普通的平方和。
加權平方和公式：
- 給定一組數據點 $x_1, x_2, ..., x_n$，對應的權重 $w_1, w_2, ..., w_n$，以及一個目标值 $mu$（如加權均值或模型預測值），加權平方和 $S_w$ 定義為： $$ Sw = sum{i=1}^{n} w_i (x_i - mu) $$
- 當 $mu$ 是數據的加權均值 $bar{x}_w$ 時，公式為： $$ Sw = sum{i=1}^{n} w_i (x_i - bar{x}_w) quad text{其中} quad bar{x}w = frac{sum{i=1}^{n} w_i xi}{sum{i=1}^{n} w_i} $$

核心作用與應用場景：

最小二乘估計/回歸分析：這是加權平方和最重要的應用領域。在拟合模型（如線性回歸）時，目标是最小化觀測值 $y_i$ 與模型預測值 $hat{y}i$ 之間的加權平方和： $$ min sum{i=1}^{n} w_i (y_i - hat{y}_i) $$ 權重 $w_i$ 用于處理異方差性（即誤差方差隨觀測值變化的情況）。方差較小的觀測點（更精确）被賦予更大的權重，使其對拟合結果的影響更大；方差較大的觀測點（更不精确）被賦予較小的權重。
計算加權方差：加權方差是衡量加權數據離散程度的關鍵指标，其計算基于加權平方和： $$ sigmaw = frac{sum{i=1}^{n} w_i (x_i - bar{x}w)}{sum{i=1}^{n} w_i} quad text{或} quad sigmaw = frac{sum{i=1}^{n} w_i (x_i - bar{x}w)}{sum{i=1}^{n} w_i - 1} text{(樣本方差)} $$ 其中 $bar{x}_w$ 是加權均值。
處理不等精度數據：在實驗測量或調查中，不同數據點可能具有不同的測量精度或可靠性。使用加權平方和（例如在計算均值或拟合模型時）可以更準确地反映高精度數據的信息。
重要性采樣：在蒙特卡洛積分等計算中，權重可以表示樣本點的重要性概率。

權重的作用總結表：

權威參考來源：

PennState STAT 415: Applied Regression Methods - 詳細講解了加權最小二乘回歸（WLS）的原理和應用，解釋了加權平方和在處理異方差性中的作用。 (來源：Penn State Department of Statistics)
Wikipedia: Weighted arithmetic mean - 提供了加權均值和加權方差的标準定義和計算公式，清晰闡述了加權平方和在計算加權方差中的核心地位。 (來源：Wikipedia)
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods - 美國國家标準與技術研究院（NIST）的權威統計手冊，在相關章節（如回歸、方差分析）中會涉及加權平方概念，特别是在處理不等精度數據時。 (來源：National Institute of Standards and Technology)

加權平方和（Weighted Sum of Squares）是統計學、數學和機器學習中常用的概念，指在計算平方和時對不同項賦予不同權重，以反映其重要性或調整數據特性。以下是詳細解釋：

加權最小二乘法（WLS）
在回歸分析中，若數據存在異方差性（方差不等），可通過加權平方和最小化誤差。此時，誤差項公式為： $$ sum_{i=1}^n w_i (y_i - hat{y}_i) $$ 其中權重 $w_i$ 通常取方差的倒數，以降低高方差數據的影響。
綜合評價與指标計算
在財務分析或多指标評估中，不同指标的重要性不同。例如，計算加權綜合得分時，對關鍵指标賦予更高權重。
概率與方差計算
加權方差的計算需要先求加權平方和，再結合加權均值調整。公式為： $$ sigma = frac{sum w_i x_i}{sum w_i} - left( frac{sum w_i x_i}{sum w_i} right) $$

通過賦予不同權重，加權平方和能夠靈活適應複雜數據分析需求，是優化模型和精确計算的重要工具。