加权平方和英文解释翻译、加权平方和的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 weighted sum of squares

【计】 weighting
【经】 weighting

【计】 quadratic sum

在统计学和数学建模中，加权平方和（Weighted Sum of Squares）是一个核心概念，用于衡量一组数据点偏离某个中心值（如均值或拟合值）的程度，其中每个数据点的贡献根据其重要性或可靠性被赋予不同的权重。其核心含义可拆解如下：

平方和：指将每个数据点与目标值（如均值）的偏差（差值）进行平方，然后求和。平方操作消除了偏差的符号（正负），并放大了较大偏差的影响。
- 公式基础：$$sum_{i=1}^{n} (x_i - mu)$$ (其中 $x_i$ 是数据点，$mu$ 是目标值，如均值)
加权：指在计算平方和时，为每个数据点的平方偏差赋予一个特定的权重系数 $w_i$。权重 $w_i$ 通常是非负的，反映了该数据点在整体计算中的相对重要性或可信度。
- 重要性高的点（或可靠性高的点）赋予较大的权重，其在平方和中的贡献就更大。
- 重要性低的点（或可靠性低的点）赋予较小的权重，其在平方和中的贡献就更小。
- 如果所有权重 $w_i = 1$，则加权平方和退化为普通的平方和。
加权平方和公式：
- 给定一组数据点 $x_1, x_2, ..., x_n$，对应的权重 $w_1, w_2, ..., w_n$，以及一个目标值 $mu$（如加权均值或模型预测值），加权平方和 $S_w$ 定义为： $$ Sw = sum{i=1}^{n} w_i (x_i - mu) $$
- 当 $mu$ 是数据的加权均值 $bar{x}_w$ 时，公式为： $$ Sw = sum{i=1}^{n} w_i (x_i - bar{x}_w) quad text{其中} quad bar{x}w = frac{sum{i=1}^{n} w_i xi}{sum{i=1}^{n} w_i} $$

核心作用与应用场景：

最小二乘估计/回归分析：这是加权平方和最重要的应用领域。在拟合模型（如线性回归）时，目标是最小化观测值 $y_i$ 与模型预测值 $hat{y}i$ 之间的加权平方和： $$ min sum{i=1}^{n} w_i (y_i - hat{y}_i) $$ 权重 $w_i$ 用于处理异方差性（即误差方差随观测值变化的情况）。方差较小的观测点（更精确）被赋予更大的权重，使其对拟合结果的影响更大；方差较大的观测点（更不精确）被赋予较小的权重。
计算加权方差：加权方差是衡量加权数据离散程度的关键指标，其计算基于加权平方和： $$ sigmaw = frac{sum{i=1}^{n} w_i (x_i - bar{x}w)}{sum{i=1}^{n} w_i} quad text{或} quad sigmaw = frac{sum{i=1}^{n} w_i (x_i - bar{x}w)}{sum{i=1}^{n} w_i - 1} text{(样本方差)} $$ 其中 $bar{x}_w$ 是加权均值。
处理不等精度数据：在实验测量或调查中，不同数据点可能具有不同的测量精度或可靠性。使用加权平方和（例如在计算均值或拟合模型时）可以更准确地反映高精度数据的信息。
重要性采样：在蒙特卡洛积分等计算中，权重可以表示样本点的重要性概率。

权重的作用总结表：

权威参考来源：

PennState STAT 415: Applied Regression Methods - 详细讲解了加权最小二乘回归（WLS）的原理和应用，解释了加权平方和在处理异方差性中的作用。 (来源：Penn State Department of Statistics)
Wikipedia: Weighted arithmetic mean - 提供了加权均值和加权方差的标准定义和计算公式，清晰阐述了加权平方和在计算加权方差中的核心地位。 (来源：Wikipedia)
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods - 美国国家标准与技术研究院（NIST）的权威统计手册，在相关章节（如回归、方差分析）中会涉及加权平方概念，特别是在处理不等精度数据时。 (来源：National Institute of Standards and Technology)

加权平方和（Weighted Sum of Squares）是统计学、数学和机器学习中常用的概念，指在计算平方和时对不同项赋予不同权重，以反映其重要性或调整数据特性。以下是详细解释：

加权最小二乘法（WLS）
在回归分析中，若数据存在异方差性（方差不等），可通过加权平方和最小化误差。此时，误差项公式为： $$ sum_{i=1}^n w_i (y_i - hat{y}_i) $$ 其中权重 $w_i$ 通常取方差的倒数，以降低高方差数据的影响。
综合评价与指标计算
在财务分析或多指标评估中，不同指标的重要性不同。例如，计算加权综合得分时，对关键指标赋予更高权重。
概率与方差计算
加权方差的计算需要先求加权平方和，再结合加权均值调整。公式为： $$ sigma = frac{sum w_i x_i}{sum w_i} - left( frac{sum w_i x_i}{sum w_i} right) $$

通过赋予不同权重，加权平方和能够灵活适应复杂数据分析需求，是优化模型和精确计算的重要工具。