本征向量英文解釋翻譯、本征向量的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 eigenvector; latent vector

分詞翻譯：

本的英語翻譯：

the root of a plant; this
【機】 aetioporphyrin

征的英語翻譯：

ask for; go on a campaign; go on a journey; levy; sign
【醫】 sign; signe; signum

向量的英語翻譯：

vector
【計】 V; vector quantity
【醫】 vector; vector quantity

專業解析

本征向量（eigenvector）是線性代數中的核心概念，其英文對應詞為"eigenvector"，源自德語"eigen"（意為"自身的"或"特有的"）。在數學和工程領域，本征向量描述了一個線性變換下僅被标量因子縮放的非零向量。具體而言，對于方陣( A )，若存在非零向量( mathbf{v} )和标量( lambda )滿足方程： $$ Amathbf{v} = lambdamathbf{v} $$ 則( mathbf{v} )稱為( A )的本征向量，( lambda )為對應的本征值。

本征向量具有以下特性：

方向不變性：在矩陣變換中僅改變長度，方向保持平行或反平行（參考：斯坦福大學線性代數課程資料）
物理意義：在量子力學中描述系統狀态的穩定屬性，如電子軌道波函數（來源：《量子力學導論》MIT OpenCourseWare講義）
工程應用：機械振動分析中表征系統固有振動模式，結構工程中用于預測共振頻率（引用：ASME期刊《振動與控制》）

該概念最早由18世紀數學家達朗貝爾在研究剛體旋轉時提出，後經希爾伯特空間理論發展為現代量子力學的數學基礎。在計算機領域，主成分分析（PCA）算法通過計算協方差矩陣的本征向量實現數據降維。

網絡擴展解釋

本征向量（又稱特征向量）是線性代數中的核心概念，指在矩陣作用下僅被縮放而不改變方向的非零向量。以下是詳細解釋：

1. 數學定義
對于方陣( A )，若存在非零向量( mathbf{v} )和标量( lambda )，滿足： $$ Amathbf{v} = lambdamathbf{v} $$ 則稱( mathbf{v} )為( A )的本征向量，對應的( lambda )稱為本征值。其核心是向量方向在變換中保持不變，僅長度被縮放( lambda )倍。

2. 幾何意義

本征向量指向矩陣變換中的“不變方向”。例如，三維旋轉矩陣的旋轉軸方向對應的向量即本征向量。
本征值反映縮放程度：若( |lambda| >1 )，方向被拉長；若( |lambda| <1 )，方向被壓縮。

3. 應用場景

物理學：量子力學中波函數對應本征态，振動系統的主振動模式。
數據分析：主成分分析（PCA）通過協方差矩陣的本征向量提取數據主要特征。
工程學：結構穩定性分析中，本征值對應系統固有頻率。

4. 求解方法

解特征方程( det(A - lambda I) = 0 )得到本征值；
對每個( lambda )，解齊次方程組( (A - lambda I)mathbf{v} = 0 )得到對應本征向量。

示例
矩陣( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} )的本征值為3和1，對應本征向量分别為( begin{pmatrix} 11 end{pmatrix} )和( begin{pmatrix} 1-1 end{pmatrix} )。幾何上表現為沿這兩個方向的拉伸變換。

總結
本征向量揭示了線性變換的内在結構特性，是理解矩陣本質、降維分析和動力系統行為的重要工具。其非零性保證了實際意義，而不同本征值對應的向量構成空間的基底。