本征向量英文解释翻译、本征向量的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 eigenvector; latent vector

分词翻译：

本的英语翻译：

the root of a plant; this
【机】 aetioporphyrin

征的英语翻译：

ask for; go on a campaign; go on a journey; levy; sign
【医】 sign; signe; signum

向量的英语翻译：

vector
【计】 V; vector quantity
【医】 vector; vector quantity

专业解析

本征向量（eigenvector）是线性代数中的核心概念，其英文对应词为"eigenvector"，源自德语"eigen"（意为"自身的"或"特有的"）。在数学和工程领域，本征向量描述了一个线性变换下仅被标量因子缩放的非零向量。具体而言，对于方阵( A )，若存在非零向量( mathbf{v} )和标量( lambda )满足方程： $$ Amathbf{v} = lambdamathbf{v} $$ 则( mathbf{v} )称为( A )的本征向量，( lambda )为对应的本征值。

本征向量具有以下特性：

方向不变性：在矩阵变换中仅改变长度，方向保持平行或反平行（参考：斯坦福大学线性代数课程资料）
物理意义：在量子力学中描述系统状态的稳定属性，如电子轨道波函数（来源：《量子力学导论》MIT OpenCourseWare讲义）
工程应用：机械振动分析中表征系统固有振动模式，结构工程中用于预测共振频率（引用：ASME期刊《振动与控制》）

该概念最早由18世纪数学家达朗贝尔在研究刚体旋转时提出，后经希尔伯特空间理论发展为现代量子力学的数学基础。在计算机领域，主成分分析（PCA）算法通过计算协方差矩阵的本征向量实现数据降维。

网络扩展解释

本征向量（又称特征向量）是线性代数中的核心概念，指在矩阵作用下仅被缩放而不改变方向的非零向量。以下是详细解释：

1. 数学定义
对于方阵( A )，若存在非零向量( mathbf{v} )和标量( lambda )，满足： $$ Amathbf{v} = lambdamathbf{v} $$ 则称( mathbf{v} )为( A )的本征向量，对应的( lambda )称为本征值。其核心是向量方向在变换中保持不变，仅长度被缩放( lambda )倍。

2. 几何意义

本征向量指向矩阵变换中的“不变方向”。例如，三维旋转矩阵的旋转轴方向对应的向量即本征向量。
本征值反映缩放程度：若( |lambda| >1 )，方向被拉长；若( |lambda| <1 )，方向被压缩。

3. 应用场景

物理学：量子力学中波函数对应本征态，振动系统的主振动模式。
数据分析：主成分分析（PCA）通过协方差矩阵的本征向量提取数据主要特征。
工程学：结构稳定性分析中，本征值对应系统固有频率。

4. 求解方法

解特征方程( det(A - lambda I) = 0 )得到本征值；
对每个( lambda )，解齐次方程组( (A - lambda I)mathbf{v} = 0 )得到对应本征向量。

示例
矩阵( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} )的本征值为3和1，对应本征向量分别为( begin{pmatrix} 11 end{pmatrix} )和( begin{pmatrix} 1-1 end{pmatrix} )。几何上表现为沿这两个方向的拉伸变换。

总结
本征向量揭示了线性变换的内在结构特性，是理解矩阵本质、降维分析和动力系统行为的重要工具。其非零性保证了实际意义，而不同本征值对应的向量构成空间的基底。