加法群英文解釋翻譯、加法群的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 additive group

分詞翻譯：

加法的英語翻譯：

addition; additive
【計】 ADD; addition

群的英語翻譯：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【醫】 group; herd

專業解析

在數學領域，"加法群"（Additive Group）是交換群（阿貝爾群）的典型代表，其核心特征為集合元素間定義了一個滿足特定公理的加法運算。從漢英詞典視角分析，"加法群"對應的英文術語為"additive group"，常以符號$(G, +)$表示。

一、數學定義與基本性質

1. 封閉性：對任意$a,b in G$，有$a+b in G$
2. 結合律：$(a+b)+c = a+(b+c)$
3. 單位元：存在$0 in G$使$a+0 = a$
4. 逆元：對每個$a$存在$-a$使$a + (-a) = 0$
5. 交換律：$a+b = b+a$（區别于一般群）

該結構在《抽象代數導論》（David S. Dummit著）中被明确界定為交換群的标準模型，廣泛應用于環的加法結構、模論等領域。

二、典型實例

1. 整數集$mathbb{Z}$配合普通加法
2. 實數集$mathbb{R}$上的加法運算
3. 模$n$剩餘類群$mathbb{Z}/nmathbb{Z}$

   這些案例在劍橋大學數學系公開課材料中均有詳細闡釋。

三、範疇論視角

在範疇語言中，加法群構成阿貝爾範疇的核心對象。美國數學學會(AMS)将其表述為"具有雙線性運算的範疇對象"，這一特性使其在代數拓撲和代數幾何中具有基礎地位。

網絡擴展解釋

加法群是群論中的一個重要概念，特指以加法運算構成的群。以下是詳細解釋：

1.定義與群公理

加法群是滿足以下四個群公理的集合 ( G ) 和加法運算“+”：

• 封閉性：對任意 ( a, b in G )，有 ( a + b in G )；
• 結合律：對任意 ( a, b, c in G )，有 ( (a + b) + c = a + (b + c) )；
• 單位元（零元）：存在唯一元素 ( 0 in G )，使得對任意 ( a in G )，有 ( a + 0 = 0 + a = a )；
• 逆元：對任意 ( a in G )，存在唯一元素 ( -a in G )，使得 ( a + (-a) = 0 )。

此外，加法群通常是阿貝爾群（交換群），即對任意 ( a, b in G )，有 ( a + b = b + a )。

2.常見例子

• 整數集 ( mathbb{Z} )：普通加法下構成無限加法群，單位元是0，每個元素 ( n ) 的逆元是 ( -n )。
• 模 ( n ) 剩餘類集 ( mathbb{Z}/nmathbb{Z} )：元素為 ( {0, 1, 2, ldots, n-1} )，加法為模 ( n ) 運算，例如 ( mathbb{Z}/5mathbb{Z} ) 中 ( 3 + 4 = 2 )（因為 ( 7 mod 5 = 2 )）。
• 實數集 ( mathbb{R} )：普通加法下構成群，滿足所有公理。
• 向量空間中的向量加法：例如二維向量集合 ( mathbb{R} )，加法按分量進行。

3.與乘法群的區别

• 加法群和乘法群的運算符號不同，但核心區别在于單位元和逆元的定義：
  • 乘法群的單位元是1，逆元是倒數 ( a^{-1} )；
  • 加法群的單位元是0，逆元是相反數 ( -a )。
• 乘法群要求元素非零（如 ( mathbb{R} setminus {0} )），而加法群可包含所有元素。

4.特殊性質

• 循環群：若加法群可由單個元素生成（如 ( mathbb{Z} ) 由1生成），則稱為循環群。
• 子群：例如偶數集是 ( mathbb{Z} ) 的加法子群。
• 同态：加法群間的映射若滿足 ( f(a + b) = f(a) + f(b) )，則稱為群同态（如線性函數 ( f(x) = 2x )）。

5.應用場景

• 數論中研究整數性質；
• 線性代數中描述向量空間結構；
• 密碼學中用于構造基于橢圓曲線加法群的加密算法。

總結來說，加法群是滿足加法運算下群公理的代數結構，廣泛存在于數學的各個分支，其核心特征是交換性和以零為單位的線性運算。

分類

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

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