加法群英文解释翻译、加法群的近义词、反义词、例句
英语翻译：
【计】 additive group
分词翻译：
加法的英语翻译：
addition; additive
【计】 ADD; addition
群的英语翻译：
bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd
专业解析
在数学领域，"加法群"（Additive Group）是交换群（阿贝尔群）的典型代表，其核心特征为集合元素间定义了一个满足特定公理的加法运算。从汉英词典视角分析，"加法群"对应的英文术语为"additive group"，常以符号$(G, +)$表示。
一、数学定义与基本性质
- 封闭性：对任意$a,b in G$，有$a+b in G$
- 结合律：$(a+b)+c = a+(b+c)$
- 单位元：存在$0 in G$使$a+0 = a$
- 逆元：对每个$a$存在$-a$使$a + (-a) = 0$
- 交换律：$a+b = b+a$（区别于一般群）
该结构在《抽象代数导论》（David S. Dummit著）中被明确界定为交换群的标准模型，广泛应用于环的加法结构、模论等领域。
二、典型实例
- 整数集$mathbb{Z}$配合普通加法
- 实数集$mathbb{R}$上的加法运算
- 模$n$剩余类群$mathbb{Z}/nmathbb{Z}$
这些案例在剑桥大学数学系公开课材料中均有详细阐释。
三、范畴论视角
在范畴语言中，加法群构成阿贝尔范畴的核心对象。美国数学学会(AMS)将其表述为"具有双线性运算的范畴对象"，这一特性使其在代数拓扑和代数几何中具有基础地位。
网络扩展解释
加法群是群论中的一个重要概念，特指以加法运算构成的群。以下是详细解释：
1.定义与群公理
加法群是满足以下四个群公理的集合 ( G ) 和加法运算“+”：
- 封闭性：对任意 ( a, b in G )，有 ( a + b in G )；
- 结合律：对任意 ( a, b, c in G )，有 ( (a + b) + c = a + (b + c) )；
- 单位元（零元）：存在唯一元素 ( 0 in G )，使得对任意 ( a in G )，有 ( a + 0 = 0 + a = a )；
- 逆元：对任意 ( a in G )，存在唯一元素 ( -a in G )，使得 ( a + (-a) = 0 )。
此外，加法群通常是阿贝尔群（交换群），即对任意 ( a, b in G )，有 ( a + b = b + a )。
2.常见例子
- 整数集 ( mathbb{Z} )：普通加法下构成无限加法群，单位元是0，每个元素 ( n ) 的逆元是 ( -n )。
- 模 ( n ) 剩余类集 ( mathbb{Z}/nmathbb{Z} )：元素为 ( {0, 1, 2, ldots, n-1} )，加法为模 ( n ) 运算，例如 ( mathbb{Z}/5mathbb{Z} ) 中 ( 3 + 4 = 2 )（因为 ( 7 mod 5 = 2 )）。
- 实数集 ( mathbb{R} )：普通加法下构成群，满足所有公理。
- 向量空间中的向量加法：例如二维向量集合 ( mathbb{R} )，加法按分量进行。
3.与乘法群的区别
- 加法群和乘法群的运算符号不同，但核心区别在于单位元和逆元的定义：
- 乘法群的单位元是1，逆元是倒数 ( a^{-1} )；
- 加法群的单位元是0，逆元是相反数 ( -a )。
- 乘法群要求元素非零（如 ( mathbb{R} setminus {0} )），而加法群可包含所有元素。
4.特殊性质
- 循环群：若加法群可由单个元素生成（如 ( mathbb{Z} ) 由1生成），则称为循环群。
- 子群：例如偶数集是 ( mathbb{Z} ) 的加法子群。
- 同态：加法群间的映射若满足 ( f(a + b) = f(a) + f(b) )，则称为群同态（如线性函数 ( f(x) = 2x )）。
5.应用场景
- 数论中研究整数性质；
- 线性代数中描述向量空间结构；
- 密码学中用于构造基于椭圆曲线加法群的加密算法。
总结来说，加法群是满足加法运算下群公理的代数结构，广泛存在于数学的各个分支，其核心特征是交换性和以零为单位的线性运算。
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