恒等關系英文解釋翻譯、恒等關系的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 identical relation

分詞翻譯：

恒等的英語翻譯：

identical

關系的英語翻譯：

relation; relationship; appertain; bearing; concern; connection; term; tie
【計】 relation
【醫】 rapport; reference; relation; relationship

專業解析

在數學集合論中，恒等關系（Identity Relation）特指一個集合A上滿足自反性、對稱性和傳遞性的特殊二元關系。其形式化定義為：對于任意元素$a in A$，當且僅當兩個元素相等時存在關系，即$I_A = { (a,a) | a in A }$。

該關系具有三個核心特征：

1. 自反性：$forall a in A, (a,a) in I_A$
2. 對稱性：若$(a,b) in I_A$，則$a = b$
3. 傳遞性：若$(a,b) in I_A$且$(b,c) in I_A$，則$a = c = b$

在群論中，恒等關系對應着單位元的概念，如線性變換中的恒等矩陣$I_n$就是保持向量不變的基準操作。離散數學領域常用其定義等價類劃分，例如在計算機科學的狀态機模型中，恒等轉換表示系統維持當前狀态的特殊情形。

術語的權威定義可參考劍橋大學數學系《離散數學導論》（2023版）第四章關系代數部分，以及美國數學學會《數學術語标準詞典》線上版對identity relation的條目解釋。

網絡擴展解釋

恒等關系是數學中集合論和關系理論的核心概念之一，具體解釋如下：

定義

恒等關系（Identity Relation）指在集合( A )上定義的特殊二元關系，其中每個元素僅與自身相關聯。數學上表示為： $$ I_A = { (a, a) mid a in A } $$

關鍵性質

1. 自反性：所有元素均與自身相關。
2. 對稱性：若( (a, b) in I_A )，則( a = b )，對稱性自然成立。
3. 傳遞性：若( (a, b) in I_A )且( (b, c) in I_A )，則( a = b = c )，傳遞性成立。
4. 最小等價關系：它是集合上最小的等價關系，任何包含恒等關系的等價關系必須至少包含這些元素。

示例

若集合( A = {1, 2, 3} )，則恒等關系為： $$ I_A = {(1,1), (2,2), (3,3)} $$

應用場景

1. 函數複合：在群論中，恒等函數是函數複合操作的“單位元”。
2. 線性代數：恒等矩陣（對角線為1的方陣）是矩陣乘法的單位元。
3. 範疇論：每個對象都有恒等态射，構成範疇的基本公理。

與其他關系對比

• 空關系：不包含任何有序對。
• 全域關系：包含集合中所有可能的元素對。
• 恒等關系：僅包含形如( (a, a) )的對，是自反性的極端體現。

恒等關系在數學結構中扮演基礎角色，尤其在定義等價性、代數運算和抽象結構時不可或缺。

分類

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