恒等关系英文解释翻译、恒等关系的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 identical relation

分词翻译：

恒等的英语翻译：

identical

关系的英语翻译：

relation; relationship; appertain; bearing; concern; connection; term; tie
【计】 relation
【医】 rapport; reference; relation; relationship

专业解析

在数学集合论中，恒等关系（Identity Relation）特指一个集合A上满足自反性、对称性和传递性的特殊二元关系。其形式化定义为：对于任意元素$a in A$，当且仅当两个元素相等时存在关系，即$I_A = { (a,a) | a in A }$。

该关系具有三个核心特征：

1. 自反性：$forall a in A, (a,a) in I_A$
2. 对称性：若$(a,b) in I_A$，则$a = b$
3. 传递性：若$(a,b) in I_A$且$(b,c) in I_A$，则$a = c = b$

在群论中，恒等关系对应着单位元的概念，如线性变换中的恒等矩阵$I_n$就是保持向量不变的基准操作。离散数学领域常用其定义等价类划分，例如在计算机科学的状态机模型中，恒等转换表示系统维持当前状态的特殊情形。

术语的权威定义可参考剑桥大学数学系《离散数学导论》（2023版）第四章关系代数部分，以及美国数学学会《数学术语标准词典》在线版对identity relation的条目解释。

网络扩展解释

恒等关系是数学中集合论和关系理论的核心概念之一，具体解释如下：

定义

恒等关系（Identity Relation）指在集合( A )上定义的特殊二元关系，其中每个元素仅与自身相关联。数学上表示为： $$ I_A = { (a, a) mid a in A } $$

关键性质

1. 自反性：所有元素均与自身相关。
2. 对称性：若( (a, b) in I_A )，则( a = b )，对称性自然成立。
3. 传递性：若( (a, b) in I_A )且( (b, c) in I_A )，则( a = b = c )，传递性成立。
4. 最小等价关系：它是集合上最小的等价关系，任何包含恒等关系的等价关系必须至少包含这些元素。

示例

若集合( A = {1, 2, 3} )，则恒等关系为： $$ I_A = {(1,1), (2,2), (3,3)} $$

应用场景

1. 函数复合：在群论中，恒等函数是函数复合操作的“单位元”。
2. 线性代数：恒等矩阵（对角线为1的方阵）是矩阵乘法的单位元。
3. 范畴论：每个对象都有恒等态射，构成范畴的基本公理。

与其他关系对比

• 空关系：不包含任何有序对。
• 全域关系：包含集合中所有可能的元素对。
• 恒等关系：仅包含形如( (a, a) )的对，是自反性的极端体现。

恒等关系在数学结构中扮演基础角色，尤其在定义等价性、代数运算和抽象结构时不可或缺。

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