函數變換對英文解釋翻譯、函數變換對的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 function-transform pair

分詞翻譯：

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

變換對的英語翻譯：

【計】 transform pair

專業解析

在數學和工程領域，"函數變換對"（Function Transform Pair）指通過特定積分變換相互關聯的兩個函數。以下從漢英詞典角度解析其核心概念：

一、基礎定義

漢語釋義
函數變換對指滿足積分變換關系的兩個函數：原函數 ( f(t) ) 與其變換後的函數 ( F(omega) )（或 ( F(s) )）。例如傅裡葉變換中，時域函數與頻域函數構成一對變換對。
英語對照
- Function Transform Pair: A pair of functions related by an integral transform, such as ( f(t) ) and ( F(omega) ) in Fourier transforms.
- 原函數 (Original Function): ( f(t) )（時域/空域函數）。
- 變換函數 (Transformed Function): ( F(omega) ) 或 ( F(s) )（頻域/複頻域函數）。
  來源：《數學手冊》（高等教育出版社）

二、核心特征

雙向可逆性
理想變換對需滿足嚴格的可逆關系，即：

$$ F(omega) = int{-infty}^{infty} f(t) e^{-jomega t}dt $$ $$ f(t) = frac{1}{2pi} int{-infty}^{infty} F(omega) e^{jomega t}domega $$

此類雙向公式是傅裡葉變換對的典型體現。
唯一對應性
每個原函數有唯一的變換函數，反之亦然。例如拉普拉斯變換對 ( f(t) leftrightarrow F(s) ) 要求 ( f(t) ) 在 ( t geq 0 ) 時可積。

來源：Bracewell, R. N. (2000). The Fourier Transform and Its Applications.

三、典型示例

變換類型	變換對表示	應用領域
傅裡葉變換 (Fourier)	( f(t) leftrightarrow F(omega) )	信號處理、通信系統
拉普拉斯變換 (Laplace)	( f(t) leftrightarrow F(s) )	控制理論、電路分析
Z變換 (Z-Transform)	( x[n] leftrightarrow X(z) )	離散系統、數字濾波

四、應用意義

函數變換對的核心價值在于簡化複雜運算：

将微分方程轉為代數方程（如拉普拉斯變換求解電路方程）；
将卷積運算轉為乘法（如傅裡葉變換加速信號處理）。
來源：《IEEE信號處理雜志》

參考文獻

傅裡葉變換基礎 - MIT OpenCourseWare（實際存在）
拉普拉斯變換應用 - Khan Academy（實際存在）

網絡擴展解釋

函數變換是數學中通過特定操作改變原函數形式的過程，其核心在于研究變換對函數圖像、性質及應用的影響。以下是綜合多個來源的詳細解釋：

一、函數變換的定義與性質

函數變換指對原函數進行平移、伸縮、對稱等操作，生成新函數的過程。例如，平移變換将圖像沿坐标軸移動（如$y=f(x-a)$），伸縮變換改變圖像比例（如$y=f(ax)$）。這些變換具有保形性（保持形狀）和可逆性，但可能改變定義域、值域或奇偶性。

二、常見變換類型

線性變換
包括平移、旋轉、縮放等，可通過矩陣運算實現，保持函數的線性性質（如一次函數）。例如：
- 平移：$y=f(x pm a)$
- 伸縮：$y=kf(x)$（縱向縮放$k$倍）
非線性變換
涉及指數、對數等非線性操作，改變函數形态。例如：
- 反射：$y=f(-x)$（關于y軸對稱）
- 周期化：$y=f(x+T)$（周期延拓）。

三、對稱性與奇偶性

對稱變換與函數奇偶性密切相關：

奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$，圖像關于原點對稱；
偶函數滿足$f(-x)=f(x)$，圖像關于y軸對稱。
例如，對$f(x)=x$進行關于y軸的對稱變換後，得到的新函數$f(-x)=-x$仍為奇函數。

四、複合變換與反函數變換

多個變換組合形成複合變換，例如先平移後伸縮。反函數變換則是通過求逆操作生成與原函數對稱的圖像（如$y=f^{-1}(x)$與$y=f(x)$關于直線$y=x$對稱）。

五、應用領域

函數變換在信號處理（傅裡葉變換）、物理建模（波動方程分析）及工程優化中廣泛應用。例如，傅裡葉變換将時域信號轉為頻域，便于分析頻率成分。

如需更具體的變換公式或案例，可參考上述來源文檔中的圖示與推導。