可微的英文解釋翻譯、可微的的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 differentiable

分詞翻譯：

可的英語翻譯：

approve; but; can; may; need; yet

微的英語翻譯：

decline; profound; tiny
【計】 mic-; micro-
【醫】 micr-; micro-; mikro-; mu

專業解析

在數學分析領域，“可微的”（differentiable）是描述函數局部線性化能力的核心概念。當函數在某點存在确定切線時，該函數在此點稱為可微的，這意味着函數在該點附近的變化率可以通過導數精确描述。

其嚴格數學定義表述為：若函數( f(x) )在點( x0 )處的極限 $$ lim{h to 0} frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $$ 存在且為有限值，則稱函數在該點可微。這個極限值即為導數( f'(x_0) )，表征着函數在該點的瞬時變化率（來源：《數學分析原理》Walter Rudin著）。

工程應用中，可微性直接影響着梯度下降算法的有效性。在機器學習領域，損失函數可微才能通過反向傳播算法更新神經網絡參數（來源：MIT出版社《Deep Learning》）。值得注意的是，可微性蘊含連續性，但連續函數未必可微，如魏爾斯特拉斯函數就是典型的處處連續但無處可微案例（來源：Springer《數學分析教程》）。

網絡擴展解釋

“可微的”是數學分析中的一個重要概念，用于描述函數在某一點或某一區域的局部性質。以下是詳細解釋：

1.一元函數的可微性

對于一元函數 ( f(x) )，若在點 ( x_0 ) 處存在導數，則稱函數在 ( x0 )可微。數學定義為： $$ lim{h to 0} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} quad text{存在} $$ 此時，函數在 ( x_0 ) 附近可近似為線性函數： $$ f(x_0 + h) approx f(x_0) + f'(x_0) cdot h $$

關鍵性質：

可微必連續，但連續不一定可微（例如 ( f(x) = |x| ) 在 ( x=0 ) 處連續但不可微）。
可微意味着函數在該點有确定的切線斜率。

2.多元函數的可微性

對于多元函數 ( f(x_1, x_2, dots, xn) )，若在點 ( mathbf{a} ) 處存在全微分，則稱函數在 ( mathbf{a} ) 可微。全微分定義為： $$ f(mathbf{a} + mathbf{h}) - f(mathbf{a}) = sum{i=1}^n frac{partial f}{partial x_i}(mathbf{a}) cdot h_i + o(|mathbf{h}|) $$ 其中 ( o(|mathbf{h}|) ) 是比 ( |mathbf{h}| ) 更高階的無窮小。

條件：

所有偏導數在 ( mathbf{a} ) 處存在且連續（此時函數一定可微）。
若僅存在偏導數，不能保證可微（例如 ( f(x,y) = frac{xy}{x + y} ) 在原點處）。

3.幾何意義

一元函數：可微表示曲線在某點有唯一的非垂直切線。
多元函數：可微表示曲面在某點存在唯一的切平面。

4.應用場景

優化問題：可微性允許使用導數/梯度尋找極值點（如梯度下降法）。
物理建模：可微函數用于描述光滑連續的變化過程（如速度、溫度場）。
機器學習：損失函數的可微性是反向傳播算法的核心前提。

5.常見誤區

可微 ≠ 光滑：可微僅要求一階導數存在，而“光滑”通常指無限次可微（如多項式函數）。
可微 → 連續，反之不成立：例如魏爾斯特拉斯函數處處連續但無處可微。

總結來說，“可微的”本質是函數在某點能用線性變化充分近似，這是研究函數局部性質、優化問題及微分方程的基礎條件。