可微的英文解释翻译、可微的的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 differentiable

分词翻译：

可的英语翻译：

approve; but; can; may; need; yet

微的英语翻译：

decline; profound; tiny
【计】 mic-; micro-
【医】 micr-; micro-; mikro-; mu

专业解析

在数学分析领域，“可微的”（differentiable）是描述函数局部线性化能力的核心概念。当函数在某点存在确定切线时，该函数在此点称为可微的，这意味着函数在该点附近的变化率可以通过导数精确描述。

其严格数学定义表述为：若函数( f(x) )在点( x0 )处的极限 $$ lim{h to 0} frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $$ 存在且为有限值，则称函数在该点可微。这个极限值即为导数( f'(x_0) )，表征着函数在该点的瞬时变化率（来源：《数学分析原理》Walter Rudin著）。

工程应用中，可微性直接影响着梯度下降算法的有效性。在机器学习领域，损失函数可微才能通过反向传播算法更新神经网络参数（来源：MIT出版社《Deep Learning》）。值得注意的是，可微性蕴含连续性，但连续函数未必可微，如魏尔斯特拉斯函数就是典型的处处连续但无处可微案例（来源：Springer《数学分析教程》）。

网络扩展解释

“可微的”是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点或某一区域的局部性质。以下是详细解释：

1.一元函数的可微性

对于一元函数 ( f(x) )，若在点 ( x_0 ) 处存在导数，则称函数在 ( x0 )可微。数学定义为： $$ lim{h to 0} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} quad text{存在} $$ 此时，函数在 ( x_0 ) 附近可近似为线性函数： $$ f(x_0 + h) approx f(x_0) + f'(x_0) cdot h $$

关键性质：

可微必连续，但连续不一定可微（例如 ( f(x) = |x| ) 在 ( x=0 ) 处连续但不可微）。
可微意味着函数在该点有确定的切线斜率。

2.多元函数的可微性

对于多元函数 ( f(x_1, x_2, dots, xn) )，若在点 ( mathbf{a} ) 处存在全微分，则称函数在 ( mathbf{a} ) 可微。全微分定义为： $$ f(mathbf{a} + mathbf{h}) - f(mathbf{a}) = sum{i=1}^n frac{partial f}{partial x_i}(mathbf{a}) cdot h_i + o(|mathbf{h}|) $$ 其中 ( o(|mathbf{h}|) ) 是比 ( |mathbf{h}| ) 更高阶的无穷小。

条件：

所有偏导数在 ( mathbf{a} ) 处存在且连续（此时函数一定可微）。
若仅存在偏导数，不能保证可微（例如 ( f(x,y) = frac{xy}{x + y} ) 在原点处）。

3.几何意义

一元函数：可微表示曲线在某点有唯一的非垂直切线。
多元函数：可微表示曲面在某点存在唯一的切平面。

4.应用场景

优化问题：可微性允许使用导数/梯度寻找极值点（如梯度下降法）。
物理建模：可微函数用于描述光滑连续的变化过程（如速度、温度场）。
机器学习：损失函数的可微性是反向传播算法的核心前提。

5.常见误区

可微 ≠ 光滑：可微仅要求一阶导数存在，而“光滑”通常指无限次可微（如多项式函数）。
可微 → 连续，反之不成立：例如魏尔斯特拉斯函数处处连续但无处可微。

总结来说，“可微的”本质是函数在某点能用线性变化充分近似，这是研究函数局部性质、优化问题及微分方程的基础条件。