克羅内克英文解釋翻譯、克羅内克的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 kronecker

分詞翻譯：

克的英語翻譯：

gram; gramme; overcome; restrain
【醫】 G.; Gm.; gram; gramme

羅的英語翻譯：

catch birds with a net; collect; display; net; sift; silk
【經】 gross

内的英語翻譯：

inner; inside; within
【醫】 end-; endo-; ento-; in-; intra-

專業解析

在漢英詞典視角下，“克羅内克”（Kronecker）主要關聯德國數學家利奧波德·克羅内克（Leopold Kronecker, 1823-1891）及其提出的重要數學概念。其核心含義與以下兩個關鍵術語相關：

一、克羅内克δ (Kronecker Delta)

• 英文釋義： A function of two variables, usually integers, which is 1 if they are equal and 0 otherwise.
  • 中文釋義： 克羅内克δ函數：一種雙變量函數（通常為整數），當兩變量相等時值為1，否則為0。
• 數學表達： $$delta_{ij} = begin{cases} 1 & text{if } i = j

  0 & text{if } i eq j end{cases}$$

• 應用領域： 線性代數（單位矩陣元素表示）、張量分析、離散數學、量子力學等。用于簡化求和公式和定義正交性。
• 權威參考： 該符號是數學和物理學中的标準記法，定義見于衆多權威教材，如《線性代數及其應用》（David C. Lay）或《數學物理方法》（Arfken, Weber, Harris）。

二、克羅内克積 (Kronecker Product)

• 英文釋義： An operation on two matrices of arbitrary size resulting in a block matrix.
  • 中文釋義： 克羅内克積：對任意大小的兩個矩陣進行運算，生成一個分塊矩陣的操作。
• 數學表達： 若 ( mathbf{A} ) 是 m×n 矩陣，( mathbf{B} ) 是 p×q 矩陣，則克羅内克積 ( mathbf{A} otimes mathbf{B} ) 是一個 (mp)×(nq) 分塊矩陣： $$mathbf{A} otimes mathbf{B} = begin{bmatrix} a{11}mathbf{B} & cdots & a{1n}mathbf{B} vdots & ddots & vdots a{m1}mathbf{B} & cdots & a{mn}mathbf{B} end{bmatrix}$$
• 應用領域： 線性系統理論（特别是大型系統）、量子力學（複合系統态空間）、圖像處理、信號處理、數值分析等。
• 權威參考： 定義和性質在矩陣理論經典著作中有詳細闡述，如《矩陣分析》（Roger A. Horn, Charles R. Johnson）。

三、人物背景：利奧波德·克羅内克

• 英文釋義： Leopold Kronecker (1823-1891), a German mathematician who made significant contributions to number theory, algebra, and logic. He is known for his finitist views in the philosophy of mathematics (“God made the integers, all else is the work of man”).
  • 中文釋義： 利奧波德·克羅内克（1823-1891），德國數學家，對數論、代數和邏輯有重要貢獻。以其在數學哲學中的有限主義觀點（“上帝創造了整數，其餘都是人的工作”）聞名。
• 關聯術語： 克羅内克δ和克羅内克積均以其姓氏命名。
• 權威參考： 數學史著作，如《古今數學思想》（莫裡斯·克萊因）或《數學史》（J. F. Scott）。

“克羅内克”在漢英詞典中的核心含義指向數學家利奧波德·克羅内克及其命名的兩個關鍵數學工具：克羅内克δ函數（用于離散相等性判斷）和克羅内克積（用于矩陣的分塊乘法運算）。這些概念是現代數學、物理及工程領域的基礎工具。

網絡擴展解釋

“克羅内克”一詞在數學中有多重含義，主要涉及人物、符號及相關理論。以下是詳細解釋：

一、人物：利奧波德·克羅内克（Leopold Kronecker）

生平
利奧波德·克羅内克（1823-1891）是德國數學家與邏輯學家，出生于現波蘭萊格尼察，逝于柏林。他出身富裕猶太家庭，早年接受私人教育，後于柏林大學獲博士學位，并在柏林科學院和柏林大學從事研究與教學。

貢獻與觀點

1. 數學哲學：他主張數學應以整數為基礎，名言“上帝創造了整數，其餘都是人做的工作”反映其直覺主義立場。
2. 學術成就：在代數數論、橢圓函數等領域貢獻突出，并推動數論、代數與分析學的統一。
3. 争議：反對康托爾的集合論，認為其缺乏嚴格的數學基礎。

二、克羅内克符號（Kronecker Delta）

定義
克羅内克符號（記為 $delta{ij}$）是一個二元函數，以克羅内克命名。其表達式為：
$$ delta{ij} = begin{cases} 1 & text{若 } i = j, 0 & text{若 } i eq j. end{cases} $$

性質與應用

1. 簡化表達式：線上性代數中表示單位矩陣，例如三維單位矩陣可寫作 $(delta{ij}){3×3}$。
2. 張量分析：用于正交基内積計算和坐标變換，如 $delta_{ij} = mathbf{e}_i cdot mathbf{e}_j$。
3. 下标縮減：對含求克羅内克符號乘積，可簡化表達式，例如 $sumj delta{ij} delta{jk} = delta{ik}$。

三、其他相關概念

1. 克羅内克積（Kronecker Product）
   矩陣間的張量積運算，用于解決矩陣方程（如 $AXB = C$），尤其在信號處理中應用廣泛。

2. 克羅内克定理
   數論中關于無理數的逼近定理，推廣了狄利克雷定理，表述為：對任意正無理數 $theta$ 和實數 $alpha$，存在整數 $m, n$ 使得 $|nθ - m + α| < ε$。

“克羅内克”既可指代數學家本人，也代表其提出的符號及相關理論。克羅内克符號因其簡潔性，成為數學和物理領域的核心工具之一，而克羅内克的數學哲學深刻影響了後世對數學基礎的思考。

分類

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