克罗内克英文解释翻译、克罗内克的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 kronecker

分词翻译：

克的英语翻译：

gram; gramme; overcome; restrain
【医】 G.; Gm.; gram; gramme

罗的英语翻译：

catch birds with a net; collect; display; net; sift; silk
【经】 gross

内的英语翻译：

inner; inside; within
【医】 end-; endo-; ento-; in-; intra-

专业解析

在汉英词典视角下，“克罗内克”（Kronecker）主要关联德国数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker, 1823-1891）及其提出的重要数学概念。其核心含义与以下两个关键术语相关：

一、克罗内克δ (Kronecker Delta)

• 英文释义： A function of two variables, usually integers, which is 1 if they are equal and 0 otherwise.
  • 中文释义： 克罗内克δ函数：一种双变量函数（通常为整数），当两变量相等时值为1，否则为0。
• 数学表达： $$delta_{ij} = begin{cases} 1 & text{if } i = j

  0 & text{if } i eq j end{cases}$$

• 应用领域： 线性代数（单位矩阵元素表示）、张量分析、离散数学、量子力学等。用于简化求和公式和定义正交性。
• 权威参考： 该符号是数学和物理学中的标准记法，定义见于众多权威教材，如《线性代数及其应用》（David C. Lay）或《数学物理方法》（Arfken, Weber, Harris）。

二、克罗内克积 (Kronecker Product)

• 英文释义： An operation on two matrices of arbitrary size resulting in a block matrix.
  • 中文释义： 克罗内克积：对任意大小的两个矩阵进行运算，生成一个分块矩阵的操作。
• 数学表达： 若 ( mathbf{A} ) 是 m×n 矩阵，( mathbf{B} ) 是 p×q 矩阵，则克罗内克积 ( mathbf{A} otimes mathbf{B} ) 是一个 (mp)×(nq) 分块矩阵： $$mathbf{A} otimes mathbf{B} = begin{bmatrix} a{11}mathbf{B} & cdots & a{1n}mathbf{B} vdots & ddots & vdots a{m1}mathbf{B} & cdots & a{mn}mathbf{B} end{bmatrix}$$
• 应用领域： 线性系统理论（特别是大型系统）、量子力学（复合系统态空间）、图像处理、信号处理、数值分析等。
• 权威参考： 定义和性质在矩阵理论经典著作中有详细阐述，如《矩阵分析》（Roger A. Horn, Charles R. Johnson）。

三、人物背景：利奥波德·克罗内克

• 英文释义： Leopold Kronecker (1823-1891), a German mathematician who made significant contributions to number theory, algebra, and logic. He is known for his finitist views in the philosophy of mathematics (“God made the integers, all else is the work of man”).
  • 中文释义： 利奥波德·克罗内克（1823-1891），德国数学家，对数论、代数和逻辑有重要贡献。以其在数学哲学中的有限主义观点（“上帝创造了整数，其余都是人的工作”）闻名。
• 关联术语： 克罗内克δ和克罗内克积均以其姓氏命名。
• 权威参考： 数学史著作，如《古今数学思想》（莫里斯·克莱因）或《数学史》（J. F. Scott）。

“克罗内克”在汉英词典中的核心含义指向数学家利奥波德·克罗内克及其命名的两个关键数学工具：克罗内克δ函数（用于离散相等性判断）和克罗内克积（用于矩阵的分块乘法运算）。这些概念是现代数学、物理及工程领域的基础工具。

网络扩展解释

“克罗内克”一词在数学中有多重含义，主要涉及人物、符号及相关理论。以下是详细解释：

一、人物：利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）

生平
利奥波德·克罗内克（1823-1891）是德国数学家与逻辑学家，出生于现波兰莱格尼察，逝于柏林。他出身富裕犹太家庭，早年接受私人教育，后于柏林大学获博士学位，并在柏林科学院和柏林大学从事研究与教学。

贡献与观点

1. 数学哲学：他主张数学应以整数为基础，名言“上帝创造了整数，其余都是人做的工作”反映其直觉主义立场。
2. 学术成就：在代数数论、椭圆函数等领域贡献突出，并推动数论、代数与分析学的统一。
3. 争议：反对康托尔的集合论，认为其缺乏严格的数学基础。

二、克罗内克符号（Kronecker Delta）

定义
克罗内克符号（记为 $delta{ij}$）是一个二元函数，以克罗内克命名。其表达式为：
$$ delta{ij} = begin{cases} 1 & text{若 } i = j, 0 & text{若 } i eq j. end{cases} $$

性质与应用

1. 简化表达式：在线性代数中表示单位矩阵，例如三维单位矩阵可写作 $(delta{ij}){3×3}$。
2. 张量分析：用于正交基内积计算和坐标变换，如 $delta_{ij} = mathbf{e}_i cdot mathbf{e}_j$。
3. 下标缩减：对含求克罗内克符号乘积，可简化表达式，例如 $sumj delta{ij} delta{jk} = delta{ik}$。

三、其他相关概念

1. 克罗内克积（Kronecker Product）
   矩阵间的张量积运算，用于解决矩阵方程（如 $AXB = C$），尤其在信号处理中应用广泛。

2. 克罗内克定理
   数论中关于无理数的逼近定理，推广了狄利克雷定理，表述为：对任意正无理数 $theta$ 和实数 $alpha$，存在整数 $m, n$ 使得 $|nθ - m + α| < ε$。

“克罗内克”既可指代数学家本人，也代表其提出的符号及相关理论。克罗内克符号因其简洁性，成为数学和物理领域的核心工具之一，而克罗内克的数学哲学深刻影响了后世对数学基础的思考。

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