矩陣微分方程英文解釋翻譯、矩陣微分方程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 matrix differential equation

分詞翻譯：

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

微分方程的英語翻譯：

【計】 differential equation

專業解析

矩陣微分方程（Matrix Differential Equation）是數學與工程學交叉領域的重要概念，特指以矩陣函數為未知量、包含導數關系的方程。其一般形式可表示為： $$ frac{dmathbf{X}(t)}{dt} = mathbf{A}(t)mathbf{X}(t) + mathbf{B}(t) $$ 其中$mathbf{X}(t)$為未知矩陣函數，$mathbf{A}(t)$和$mathbf{B}(t)$為已知系數矩陣。這類方程廣泛應用于控制系統、量子力學和信號處理等領域。

從漢英詞典視角解析：

核心定義
中文術語“矩陣微分方程”對應英文“Matrix Differential Equation”，強調方程的變量為矩陣且包含微分運算。其理論基礎源于線性代數與常微分方程的結合，需通過矩陣指數函數或數值方法求解。
典型應用場景
在控制系統中，狀态空間模型常用矩陣微分方程描述多變量動态系統；在量子力學中，薛定谔方程的矩陣形式用于模拟粒子狀态演化。
求解方法論
解析解法包括矩陣指數法（如齊次方程解$mathbf{X}(t) = e^{int mathbf{A}(t)dt}mathbf{X}_0$）和拉普拉斯變換法，數值解法涵蓋龍格-庫塔算法等。特殊情形下需考慮矩陣的可對角化特性。

權威參考文獻建議參閱《線性系統理論》（T. Kailath著）第4章，或《高等工程數學》（Kreyszig著）第4.7節關于矩陣微積分的内容。

網絡擴展解釋

矩陣微分方程是指以矩陣形式表達的微分方程，常用于描述多變量動态系統或高階微分方程組的演化規律。以下是其核心要點解析：

1.基本定義與形式

矩陣微分方程的一般形式為： $$ frac{dmathbf{X}}{dt} = mathbf{A}mathbf{X}(t) + mathbf{F}(t), $$ 其中：

$mathbf{X}(t)$ 是未知的向量函數（如 $n$ 維列向量）；
$mathbf{A}$ 是常數矩陣（$n times n$）；
$mathbf{F}(t)$ 是非齊次項（當 $mathbf{F}(t)=0$ 時為齊次方程）。

2.齊次方程的解

對于齊次方程 $frac{dmathbf{X}}{dt} = mathbf{A}mathbf{X}$，其通解為： $$ mathbf{X}(t) = e^{tmathbf{A}} mathbf{X}(0), $$ 其中 $e^{tmathbf{A}}$ 是矩陣指數函數，通過泰勒展開或特征值分解計算。

驗證：對解求導可得 $frac{d}{dt}e^{tmathbf{A}} = mathbf{A}e^{tmathbf{A}}$，滿足原方程。

3.非齊次方程的解

非齊次方程 $frac{dmathbf{X}}{dt} = mathbf{A}mathbf{X} + mathbf{F}(t)$ 的解為： $$ mathbf{X}(t) = e^{tmathbf{A}} left( mathbf{X}(0) + int_0^t e^{-taumathbf{A}} mathbf{F}(tau) dtau right), $$ 通過常數變易法推導得出。

4.應用場景

轉化高階微分方程：将 $n$ 階微分方程轉化為 $n$ 個一階方程的矩陣形式。例如，方程 $y'' + ay' + by = 0$ 可令 $mathbf{X} = [y, y']^T$，轉化為矩陣方程： $$ frac{dmathbf{X}}{dt} = begin{bmatrix} 0 & 1-b & -a end{bmatrix} mathbf{X} 。 $$
線性控制系統：用于分析多變量系統的穩定性、響應特性等。

5.矩陣微積分基礎

矩陣導數：對矩陣 $mathbf{A}(t)$ 逐元素求導，即 $frac{dmathbf{A}}{dt} = left[ frac{da_{ij}}{dt} right]$。
矩陣積分：對矩陣逐元素積分，即 $int mathbf{A}(t) dt = left[ int a_{ij}(t) dt right]$。

示例說明

求解方程組 $frac{dx_1}{dt} = x_2, frac{dx_2}{dt} = -x_1$，初始條件為 $x_1(0)=1, x_2(0)=0$：

矩陣形式：$frac{dmathbf{X}}{dt} = begin{bmatrix} 0 & 1-1 & 0 end{bmatrix} mathbf{X}$。
計算矩陣指數 $e^{tmathbf{A}}$，解得 $mathbf{X}(t) = [cos t, -sin t]^T$。

通過矩陣形式，可系統化處理複雜微分方程組，簡化求解過程。如需更深入的理論證明或數值解法，可參考線性微分方程或矩陣分析教材。