英語翻譯：

extreme value; extremum
【化】 extreme value; extremum value

分詞翻譯：

值的英語翻譯：

cost; value; happen to; on duty
【醫】 number; titer; titre; value

專業解析

在數學與語言學範疇中，“極值”具有明确的專業定義與實用語境，以下從漢英詞典角度進行權威解析：

一、核心定義

極值（jí zhí）

• 漢語釋義：指函數在特定區間内的最大值或最小值，是函數變化過程中的臨界點。
• 英語對應：Extreme Value，包含最大值（Maximum Value）和最小值（Minimum Value）。
• 術語構成：
  • “極”（extreme）表示“頂點”或“極限”；
  • “值”（value）指“數值”。

    例：函數 ( f(x) = x ) 在區間 ([-1, 1]) 的極值為 ( x=0 ) 時的最小值 ( 0 )。

二、數學語境詳解

1. 局部極值（Local Extrema）

   在點 ( x_0 ) 的鄰域内，若 ( f(x_0) ) 大于（或小于）所有鄰近點的函數值，則稱其為局部極大值（或極小值）。需滿足一階導數 ( f'(x_0) = 0 ) 或導數不存在，并通過二階導數或符號變化驗證（參考《數學分析》教材）。

   例：函數 ( f(x) = sin x ) 在 ( x = frac{pi}{2} ) 處取得局部極大值 ( 1 )。

2. 全局極值（Global Extrema）

   在定義域内，函數所能達到的最高或最低值。需比較臨界點、端點及不可導點處的函數值（來源：微積分标準教程）。

三、跨學科應用

• 統計學：描述數據分布的異常點（如離群值）；
• 工程優化：在控制系統中尋找參數最優解（如成本最小化）；
• 氣象學：記錄氣溫、降水的曆史最高/最低值。

四、權威參考來源

1. 《現代漢語詞典》（第7版）：定義“極值”為“函數在某區間内的最大值或最小值”。
2. Oxford English Dictionary：将 "extreme value" 解釋為 "the highest or lowest value attained by a function"（詳見OED條目）。
3. Wolfram MathWorld：詳述極值判定定理（參見極值理論）。

五、典型誤區分辨

• 極值 vs 最值：

  “最值”強調全局範圍（如區間 ([a,b]) 的最大值），而“極值”可為局部性質（如某點鄰域内的峰值）。

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本解釋綜合數學定義、漢英詞典釋義及跨學科用例，内容符合學術規範與實用需求。

網絡擴展解釋

極值是數學中描述函數局部性質的重要概念，具體解釋如下：

一、定義

極值指函數在某點附近範圍内的最大或最小值，分為：

• 極大值：若存在鄰域，使該點函數值≥鄰域内所有其他點的值
• 極小值：若存在鄰域，使該點函數值≤鄰域内所有其他點的值

二、核心特征

1. 局部性：僅反映某點附近區域的相對大小，不同于全局最大值/最小值
2. 臨界點：可導函數的極值點處一階導數為零（費馬定理），即滿足： $$ f'(x_0) = 0 $$
3. 判定條件：
   • 一階導數在極值點兩側符號變化（從正變負為極大值，反之為極小值）
   • 二階導數判定法：若$f''(x_0) > 0$為極小值，$f''(x_0) < 0$為極大值

三、示例說明

函數$f(x) = x - 3x$：

• 在$x=1$處取得極小值$f(1)=-2$
• 在$x=-1$處取得極大值$f(-1)=2$
• 雖然$x=0$處導數為零，但非極值點（鞍點）

四、應用領域

常見于優化問題、物理運動分析（如抛體運動最高點）、經濟學中的成本收益分析等場景。需注意：某些不可導點（如絕對值函數原點）也可能是極值點。

分類

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