基向量英文解释翻译、基向量的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 base vector

分词翻译：

基的英语翻译：

base; basic; foundation; key; primary; radix
【化】 group; radical
【医】 base; basement; group; radical

向量的英语翻译：

vector
【计】 V; vector quantity
【医】 vector; vector quantity

专业解析

在数学和物理学中，基向量（Basis Vectors）是线性代数中的核心概念，指在线性空间中构成坐标系基础的一组线性无关向量。以下是详细解释：

一、定义与核心特性

数学定义
设 ( V ) 是数域 ( mathbb{R} ) 或 ( mathbb{C} ) 上的线性空间，若向量组 ( {mathbf{e}_1, mathbf{e}_2, dots, mathbf{e}_n} ) 满足：
- 线性无关性：方程 ( c_1mathbf{e}_1 + c_2mathbf{e}_2 + dots + c_nmathbf{e}_n = mathbf{0} ) 的唯一解为 ( c_1 = c_2 = dots = c_n = 0 )；
- 生成整个空间：( V ) 中任意向量 ( mathbf{v} ) 可表示为 ( mathbf{v} = a_1mathbf{e}_1 + a_2mathbf{e}_2 + dots + a_nmathbf{e}_n )（( a_i ) 为标量）。
  则称 ( {mathbf{e}_1, mathbf{e}_2, dots, mathbf{e}_n} ) 是 ( V ) 的一组基，每个 ( mathbf{e}_i ) 称为基向量。
关键性质
- 维度关联：基向量的数量等于空间的维度（如三维空间需三个基向量）。
- 坐标系基础：基向量定义了空间的坐标系，例如笛卡尔坐标系的标准基 ( hat{mathbf{i}} = (1,0,0) ), ( hat{mathbf{j}} = (0,1,0) ), ( hat{mathbf{k}} = (0,0,1) )。
- 唯一表示：空间中每个向量在给定基下对应唯一的坐标组合。

二、应用场景

几何与物理
用于描述物体位置、速度等物理量（如三维空间中力分解为 ( F_xhat{mathbf{i}} + F_yhat{mathbf{j}} + F_zhat{mathbf{k}} )）。

数据科学
在机器学习中，基向量可构建特征空间的主成分（PCA降维技术依赖基变换）。

计算机图形学
定义局部坐标系（如物体旋转时需更新基向量）。

三、中英术语对照

中文	英文
基向量	Basis Vector
线性无关	Linearly Independent
生成空间	Span the Space
标准正交基	Orthonormal Basis

参考文献

《线性代数及其应用》（高等教育出版社）
定义与性质解析：高等教育出版社数学教材库

MIT线性代数公开课（Gilbert Strang）
基向量应用实例：MIT OpenCourseWare

Wolfram MathWorld
数学词条权威解释：Basis Vector Definition

网络扩展解释

基向量是线性代数中描述向量空间的基础工具，以下是综合多来源信息的详细解释：

一、定义

基向量是向量空间中一组线性无关且能线性生成整个空间的向量集合中的元素。例如在三维空间中，标准基向量为： $$ vec{e}_x = begin{pmatrix}100end{pmatrix},quad vec{e}_y = begin{pmatrix}010end{pmatrix},quad vec{e}_z = begin{pmatrix}001end{pmatrix} $$

二、核心性质

线性无关：基向量之间无法通过线性组合相互表示。
生成空间：空间中任意向量可唯一表示为基向量的线性组合。例如$vec{v}=avec{e}_x + bvec{e}_y + cvec{e}_z$。
维数对应：基向量的数量决定了向量空间的维度（如三维空间有3个基向量）。

三、其他特性

非唯一性：同一空间可存在多组不同的基向量，例如二维空间中${(1,0),(0,1)}$和${(1,1),(1,-1)}$均可作为基。
单位化常见选择：实际应用中常将基向量单位化（如标准正交基）以简化计算。

四、扩展概念

正交基：基向量两两正交（如标准基），可通过施密特正交化方法构造。
无限维空间：某些空间存在无限个基向量（如多项式空间）。

提示：基向量概念是理解线性变换、矩阵运算的基础，例如线性变换对基向量的作用可推广至整个空间。