良基集英文解釋翻譯、良基集的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 well-formed set; well-founded set

分詞翻譯：

基的英語翻譯：

base; basic; foundation; key; primary; radix
【化】 group; radical
【醫】 base; basement; group; radical

集的英語翻譯：

collect; collection; gather; volume
【電】 set

專業解析

良基集（Well-founded set）是數學集合論中的基礎概念，其漢英對照定義與核心特征可解析如下：

定義與形式化表達

良基集指在集合上定義的二元關系滿足"良基性"（well-foundedness），即該集合的每個非空子集都包含關于該關系的極小元。用數學語言可表述為：

$$ forall S subseteq A(S eq emptyset Rightarrow exists m in Sforall x in S

eg(xRm)) $$

其中$R$是集合$A$上的二元關系，$xRy$表示元素$x$與$y$滿足關系$R$（參考：Stanford Encyclopedia of Philosophy, Set Theory）。

核心特性

極小元存在性：避免無限遞降鍊$x_1 i x_2 i x_3 i cdots$，這一特性支撐了數學歸納法的有效性
遞歸定義基礎：為遞歸函數定義提供嚴格的理論框架，确保定義過程不會陷入無限循環
正則公理體現：在ZFC公理體系中，正則公理排除非良基集合存在，規定$forall x(x eq emptyset Rightarrow exists y in xy cap x = emptyset)$（參考：Encyclopedia of Mathematics, Axiom of Regularity）

應用範疇

• 計算機科學：程式終止性證明

• 數理邏輯：模型論中的結構分析

• 數據庫理論：樹形數據結構設計

• 類型系統：Coq/Agda等證明輔助工具的核心設計原則

權威參考文獻：

集合論基礎：Jech, T. (2003). Set Theory. Springer
形式化驗證：Abel, A. (2020). "Well-founded Recursion in Type Theory", Proceedings of LICS
公理系統解讀：Kanamori, A. (2003). "The Higher Infinite", Springer Monographs in Mathematics

網絡擴展解釋

“良基集”是集合論和計算機科學中的專業術語，其核心概念與集合上的二元關系及極小元相關。以下是詳細解釋：

1.基本定義

良基集（well-founded set）指一個集合與其上的良基關系構成的整體。具體來說，若集合( A )上的二元關系( R )滿足：每個非空子集( B subseteq A )都存在一個( R )-極小元（即存在元素( y in B )，使得不存在( z in B )滿足( zRy )），則稱( R )為( A )上的良基關系，而( A )被稱為關于( R )的良基集。

2.關鍵特性

極小元存在性：良基關系的核心是确保集合的每個非空子集都有“最小”元素（按關系( R )定義）。
與良序的關系：良序關系（如自然數的“<”關系）一定是良基關系，但良基關系不一定是全序的。例如，樹結構上的父子關系是良基的，但非全序。
防止無限降鍊：良基關系避免了無限遞降序列（如( a_1Ra_2Ra_3Rcdots )），這對歸納法證明至關重要。

3.應用領域

集合論基礎：策梅洛（Zermelo）提出的正則公理（ZFC公理之一）要求所有集合都是良基的，即不存在無限遞屬鍊（如( x i y i z i cdots )），從而避免羅素悖論等問題。
計算機科學：在程式驗證中，良基關系用于證明循環終止性。例如，若循環變量的取值構成良基集，則循環必然終止。

4.示例

自然數集：在标準序關系“<”下是良基集，因為任何非空子集都有最小數。
樹結構：節點間的父子關系是良基的，因為從任意節點出發無法無限向下遍曆。

良基集通過限制集合中元素的關聯方式，為數學邏輯和計算機程式提供了嚴格的歸納與終止性基礎。其定義依賴于二元關系的極小元存在性，是集合論和形式化方法中的核心概念之一。