良基集英文解释翻译、良基集的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 well-formed set; well-founded set

分词翻译：

基的英语翻译：

base; basic; foundation; key; primary; radix
【化】 group; radical
【医】 base; basement; group; radical

集的英语翻译：

collect; collection; gather; volume
【电】 set

专业解析

良基集（Well-founded set）是数学集合论中的基础概念，其汉英对照定义与核心特征可解析如下：

定义与形式化表达

良基集指在集合上定义的二元关系满足"良基性"（well-foundedness），即该集合的每个非空子集都包含关于该关系的极小元。用数学语言可表述为：

$$ forall S subseteq A(S eq emptyset Rightarrow exists m in Sforall x in S

eg(xRm)) $$

其中$R$是集合$A$上的二元关系，$xRy$表示元素$x$与$y$满足关系$R$（参考：Stanford Encyclopedia of Philosophy, Set Theory）。

核心特性

极小元存在性：避免无限递降链$x_1 i x_2 i x_3 i cdots$，这一特性支撑了数学归纳法的有效性
递归定义基础：为递归函数定义提供严格的理论框架，确保定义过程不会陷入无限循环
正则公理体现：在ZFC公理体系中，正则公理排除非良基集合存在，规定$forall x(x eq emptyset Rightarrow exists y in xy cap x = emptyset)$（参考：Encyclopedia of Mathematics, Axiom of Regularity）

应用范畴

• 计算机科学：程序终止性证明

• 数理逻辑：模型论中的结构分析

• 数据库理论：树形数据结构设计

• 类型系统：Coq/Agda等证明辅助工具的核心设计原则

权威参考文献：

集合论基础：Jech, T. (2003). Set Theory. Springer
形式化验证：Abel, A. (2020). "Well-founded Recursion in Type Theory", Proceedings of LICS
公理系统解读：Kanamori, A. (2003). "The Higher Infinite", Springer Monographs in Mathematics

网络扩展解释

“良基集”是集合论和计算机科学中的专业术语，其核心概念与集合上的二元关系及极小元相关。以下是详细解释：

1.基本定义

良基集（well-founded set）指一个集合与其上的良基关系构成的整体。具体来说，若集合( A )上的二元关系( R )满足：每个非空子集( B subseteq A )都存在一个( R )-极小元（即存在元素( y in B )，使得不存在( z in B )满足( zRy )），则称( R )为( A )上的良基关系，而( A )被称为关于( R )的良基集。

2.关键特性

极小元存在性：良基关系的核心是确保集合的每个非空子集都有“最小”元素（按关系( R )定义）。
与良序的关系：良序关系（如自然数的“<”关系）一定是良基关系，但良基关系不一定是全序的。例如，树结构上的父子关系是良基的，但非全序。
防止无限降链：良基关系避免了无限递降序列（如( a_1Ra_2Ra_3Rcdots )），这对归纳法证明至关重要。

3.应用领域

集合论基础：策梅洛（Zermelo）提出的正则公理（ZFC公理之一）要求所有集合都是良基的，即不存在无限递属链（如( x i y i z i cdots )），从而避免罗素悖论等问题。
计算机科学：在程序验证中，良基关系用于证明循环终止性。例如，若循环变量的取值构成良基集，则循环必然终止。

4.示例

自然数集：在标准序关系“<”下是良基集，因为任何非空子集都有最小数。
树结构：节点间的父子关系是良基的，因为从任意节点出发无法无限向下遍历。

良基集通过限制集合中元素的关联方式，为数学逻辑和计算机程序提供了严格的归纳与终止性基础。其定义依赖于二元关系的极小元存在性，是集合论和形式化方法中的核心概念之一。