連帶勒讓德多項式英文解釋翻譯、連帶勒讓德多項式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 associated Laguedre polynomial

分詞翻譯：

連的英語翻譯：

company; connect; join; link; even; in succession; including
【醫】 sym-; syn-

帶的英語翻譯：

belt; bring; strap; strip; take; wear
【計】 tape
【化】 band
【醫】 balteum; band; belt; chord; chorda; chordae; chordo-; cingule; cingulum
cord; desmo-; girdle; ribbon; strap; strip; taenia; taenia-; taeniae
tape; teni-; tenia; zona; zone
【經】 belt

勒的英語翻譯：

rein in; tie sth. tight
【醫】 lux; meter candle

讓的英語翻譯：

allow; give away; give up; let; make; yield

德的英語翻譯：

heart; mind; morals; virtue

多項式的英語翻譯：

multinomial; polynomial; quantic
【計】 P; polynomial

專業解析

連帶勒讓德多項式（Associated Legendre Polynomials）是數學物理中用于求解球坐标系下偏微分方程的特殊函數，其英文術語為"Associated Legendre Polynomials"或"Associated Legendre Functions"。該函數是勒讓德多項式的推廣形式，通過引入額外的參數來描述更複雜的對稱性問題。

1. 數學定義與公式

連帶勒讓德多項式通常表示為 ( P_l^m(x) )，其中 ( l ) 為非負整數（( l geq 0 )），( m ) 為整數且滿足 ( -l leq m leq l )。其定義基于勒讓德多項式 ( P_l(x) ) 的導數： $$ P_l^m(x) = (-1)^m (1-x)^{m/2} frac{d^m}{dx^m} P_l(x) $$ 當 ( m geq 0 ) 時，上述公式成立；當 ( m < 0 ) 時，可通過關系式 ( P_l^{-m}(x) = (-1)^m frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x) ) 推導。

2. 與普通勒讓德多項式的關系

普通勒讓德多項式 ( P_l(x) ) 是 ( m=0 ) 時的特例，即 ( P_l^0(x) = Pl(x) )。兩者均滿足正交性條件： $$ int{-1} Pl^m(x) P{l'}^m(x) dx = frac{2}{2l+1} frac{(l+m)!}{(l-m)!} delta_{ll'} $$ 這一性質在量子力學角動量分析中具有關鍵作用。

3. 物理應用

連帶勒讓德多項式在以下領域廣泛應用：

量子力學：描述氫原子電子軌道的角向波函數（如球諧函數 ( Y_l^m ) 的構成部分）
電磁學：求解球坐标系下的拉普拉斯方程，用于多極展開分析
地球物理學：地球重力場建模與位場理論計算。

4. 重要性質

其遞推關系與生成函數是數值計算的基礎，例如： $$ (l-m+1)P_{l+1}^m(x) = (2l+1)xPl^m(x) - (l+m)P{l-1}^m(x) $$ 這一性質在計算機仿真算法中常被引用。

參考文獻

Arfken, G.B. & Weber, H.J. Mathematical Methods for Physicists (第7版), 學術出版社
Jackson, J.D. Classical Electrodynamics (第3版), Wiley出版社
NIST數學函數數字圖書館（DLMF）第14章特殊函數

網絡擴展解釋

連帶勒讓德多項式（Associated Legendre polynomials）是數學和物理學中用于解決特定微分方程的特殊函數，尤其在球坐标系下的偏微分方程分離變量法中具有重要作用。以下是綜合多個來源的詳細解釋：

1.定義與方程來源

連帶勒讓德多項式是連帶勒讓德方程的解函數序列。該方程的形式為： $$ frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[(1-x)frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}P_l^m(x)right] + left[l(l+1) - frac{m}{1-x}right]P_l^m(x) = 0 $$ 其中 $l$ 為非負整數，$m$ 為整數且滿足 $|m| leq l$，$x in [-1,1]$。當 $m=0$ 時，方程退化為标準的勒讓德方程，解為勒讓德多項式 $P_l(x)$。

2.生成方式

連帶勒讓德多項式可通過勒讓德多項式求導生成： $$ P_l^m(x) = (-1)^m (1-x)^{m/2} frac{mathrm{d}^m}{mathrm{d}x^m} P_l(x) $$ 此公式表明，$P_l^m(x)$ 是 $P_l(x)$ 的 $m$ 階導數乘以 $(1-x)^{m/2}$，并包含相位因子 $(-1)^m$。

3.性質

正交性：在區間 $[-1,1]$ 上，連帶勒讓德多項式滿足正交關系： $$ int_{-1} Pl^m(x) P{l'}^m(x) mathrm{d}x = frac{2}{2l+1} frac{(l+m)!}{(l-m)!} delta_{ll'} $$ 這一性質在量子力學和電磁學中用于展開函數。
非多項式性：當 $m$ 為奇數時，$P_l^m(x)$ 并非嚴格意義上的多項式，但仍沿用此名稱。

4.物理應用

球坐标系中的拉普拉斯方程：在電勢、引力場等問題中，連帶勒讓德多項式用于描述角度部分的解，與徑向函數結合構成球諧函數。
量子力學：氫原子的波函數角度部分由連帶勒讓德多項式和球諧函數共同描述，對應角動量量子數 $l$ 和磁量子數 $m$。

5.與勒讓德多項式的關系

當 $m=0$ 時，$P_l^0(x) = P_l(x)$，即退化為标準勒讓德多項式。兩者均屬于更廣義的正交多項式序列，用于函數展開和積分運算。

如需進一步了解具體推導或應用場景，可參考來源。