连带勒让德多项式英文解释翻译、连带勒让德多项式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 associated Laguedre polynomial

分词翻译：

连的英语翻译：

company; connect; join; link; even; in succession; including
【医】 sym-; syn-

带的英语翻译：

belt; bring; strap; strip; take; wear
【计】 tape
【化】 band
【医】 balteum; band; belt; chord; chorda; chordae; chordo-; cingule; cingulum
cord; desmo-; girdle; ribbon; strap; strip; taenia; taenia-; taeniae
tape; teni-; tenia; zona; zone
【经】 belt

勒的英语翻译：

rein in; tie sth. tight
【医】 lux; meter candle

让的英语翻译：

allow; give away; give up; let; make; yield

德的英语翻译：

heart; mind; morals; virtue

多项式的英语翻译：

multinomial; polynomial; quantic
【计】 P; polynomial

专业解析

连带勒让德多项式（Associated Legendre Polynomials）是数学物理中用于求解球坐标系下偏微分方程的特殊函数，其英文术语为"Associated Legendre Polynomials"或"Associated Legendre Functions"。该函数是勒让德多项式的推广形式，通过引入额外的参数来描述更复杂的对称性问题。

1. 数学定义与公式

连带勒让德多项式通常表示为 ( P_l^m(x) )，其中 ( l ) 为非负整数（( l geq 0 )），( m ) 为整数且满足 ( -l leq m leq l )。其定义基于勒让德多项式 ( P_l(x) ) 的导数： $$ P_l^m(x) = (-1)^m (1-x)^{m/2} frac{d^m}{dx^m} P_l(x) $$ 当 ( m geq 0 ) 时，上述公式成立；当 ( m < 0 ) 时，可通过关系式 ( P_l^{-m}(x) = (-1)^m frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x) ) 推导。

2. 与普通勒让德多项式的关系

普通勒让德多项式 ( P_l(x) ) 是 ( m=0 ) 时的特例，即 ( P_l^0(x) = Pl(x) )。两者均满足正交性条件： $$ int{-1} Pl^m(x) P{l'}^m(x) dx = frac{2}{2l+1} frac{(l+m)!}{(l-m)!} delta_{ll'} $$ 这一性质在量子力学角动量分析中具有关键作用。

3. 物理应用

连带勒让德多项式在以下领域广泛应用：

量子力学：描述氢原子电子轨道的角向波函数（如球谐函数 ( Y_l^m ) 的构成部分）
电磁学：求解球坐标系下的拉普拉斯方程，用于多极展开分析
地球物理学：地球重力场建模与位场理论计算。

4. 重要性质

其递推关系与生成函数是数值计算的基础，例如： $$ (l-m+1)P_{l+1}^m(x) = (2l+1)xPl^m(x) - (l+m)P{l-1}^m(x) $$ 这一性质在计算机仿真算法中常被引用。

参考文献

Arfken, G.B. & Weber, H.J. Mathematical Methods for Physicists (第7版), 学术出版社
Jackson, J.D. Classical Electrodynamics (第3版), Wiley出版社
NIST数学函数数字图书馆（DLMF）第14章特殊函数

网络扩展解释

连带勒让德多项式（Associated Legendre polynomials）是数学和物理学中用于解决特定微分方程的特殊函数，尤其在球坐标系下的偏微分方程分离变量法中具有重要作用。以下是综合多个来源的详细解释：

1.定义与方程来源

连带勒让德多项式是连带勒让德方程的解函数序列。该方程的形式为： $$ frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left[(1-x)frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}P_l^m(x)right] + left[l(l+1) - frac{m}{1-x}right]P_l^m(x) = 0 $$ 其中 $l$ 为非负整数，$m$ 为整数且满足 $|m| leq l$，$x in [-1,1]$。当 $m=0$ 时，方程退化为标准的勒让德方程，解为勒让德多项式 $P_l(x)$。

2.生成方式

连带勒让德多项式可通过勒让德多项式求导生成： $$ P_l^m(x) = (-1)^m (1-x)^{m/2} frac{mathrm{d}^m}{mathrm{d}x^m} P_l(x) $$ 此公式表明，$P_l^m(x)$ 是 $P_l(x)$ 的 $m$ 阶导数乘以 $(1-x)^{m/2}$，并包含相位因子 $(-1)^m$。

3.性质

正交性：在区间 $[-1,1]$ 上，连带勒让德多项式满足正交关系： $$ int_{-1} Pl^m(x) P{l'}^m(x) mathrm{d}x = frac{2}{2l+1} frac{(l+m)!}{(l-m)!} delta_{ll'} $$ 这一性质在量子力学和电磁学中用于展开函数。
非多项式性：当 $m$ 为奇数时，$P_l^m(x)$ 并非严格意义上的多项式，但仍沿用此名称。

4.物理应用

球坐标系中的拉普拉斯方程：在电势、引力场等问题中，连带勒让德多项式用于描述角度部分的解，与径向函数结合构成球谐函数。
量子力学：氢原子的波函数角度部分由连带勒让德多项式和球谐函数共同描述，对应角动量量子数 $l$ 和磁量子数 $m$。

5.与勒让德多项式的关系

当 $m=0$ 时，$P_l^0(x) = P_l(x)$，即退化为标准勒让德多项式。两者均属于更广义的正交多项式序列，用于函数展开和积分运算。

如需进一步了解具体推导或应用场景，可参考来源。