勒記德多項式英文解釋翻譯、勒記德多項式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 legendre polynomial

分詞翻譯：

勒的英語翻譯：

rein in; tie sth. tight
【醫】 lux; meter candle

記的英語翻譯：

bear in mind; mark; notes; record; remember; write down

德的英語翻譯：

heart; mind; morals; virtue

多項式的英語翻譯：

multinomial; polynomial; quantic
【計】 P; polynomial

專業解析

Legendre多項式（Legendre polynomials）是數學物理中一類重要的正交多項式，得名于法國數學家Adrien-Marie Legendre。其在球坐标系、電勢理論及量子力學等領域有廣泛應用，常被用于解Legendre微分方程或展開函數級數。以下從漢英對照與數學定義角度進行詳細解釋：

數學定義與表達式
Legendre多項式的标準定義基于Rodrigues公式： $$ P_n(x) = frac{1}{2^n n!} frac{d^n}{dx^n} left( x - 1 right)^n $$ 其中，( n )為非負整數，表示多項式的階數。例如，( P_0(x)=1 )，( P_1(x)=x )，( P_2(x)=frac{1}{2}(3x-1) )。
正交性與歸一化條件
Legendre多項式在區間 ([-1, 1]) 上關于權重函數 ( w(x)=1 ) 正交，滿足： $$ int_{-1} P_m(x) Pn(x) dx = frac{2}{2n+1} delta{mn} $$ 這一性質使其在函數展開（如傅裡葉-Legendre級數）中具有關鍵作用。
應用領域

物理學：用于描述球對稱系統中的勢場分布（如靜電場或引力場）。
工程學：應用于天線輻射模式或地球重力場建模。
量子力學：氫原子波函數的角向部分涉及連帶Legendre多項式。

擴展概念
連帶Legendre多項式（Associated Legendre polynomials）是其推廣形式，定義為： $$ P_n^m(x) = (-1)^m (1-x)^{m/2} frac{d^m}{dx^m} P_n(x) $$ 用于處理更複雜的偏微分方程，如三維波動方程。

參考來源：

Abramowitz, M. & Stegun, I. A. Handbook of Mathematical Functions（美國國家标準局數學函數手冊）
Arfken, G. B. & Weber, H. J. Mathematical Methods for Physicists（學術出版社）
Weisstein, E. W. Legendre Polynomial（MathWorld線上數學資源）

網絡擴展解釋

“勒記德多項式”可能是“勒讓德多項式”（Legendre Polynomials）的誤寫。這是數學和物理學中一類重要的正交多項式，常用于解決微分方程、電勢理論等問題。以下是詳細解釋：

1.定義與表達式

勒讓德多項式是定義在區間 ([-1, 1]) 上的一組正交多項式，滿足特定微分方程： $$ (1 - x) frac{d y}{dx} - 2x frac{dy}{dx} + n(n+1)y = 0 $$ 其通項可通過羅德裡格斯公式表示： $$ P_n(x) = frac{1}{2^n n!} frac{d^n}{dx^n} left[(x - 1)^n right]

2.性質

正交性：在區間 ([-1, 1]) 上，不同階的勒讓德多項式滿足正交關系： $$ int_{-1} P_m(x) P_n(x) dx = 0 quad (m eq n) $$
遞推關系：高階多項式可通過低階多項式遞推生成，例如： $$ (n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xPn(x) - nP{n-1}(x) $$

3.應用領域

數學物理：用于球坐标系下的拉普拉斯方程求解，如電勢、引力場分析。
工程學：在信號處理、數值分析中作為基函數展開複雜函數。

4.與其他多項式的關聯

勒讓德多項式屬于更廣泛的正交多項式家族，類似埃爾米特多項式、拉蓋爾多項式等，均具有特定的正交性和物理意義。

示例前幾項

( P_0(x) = 1 )
( P_1(x) = x )
( P_2(x) = frac{1}{2}(3x - 1) )

若需更完整的公式或應用場景，可參考數學物理方法教材或專業文獻。