勒记德多项式英文解释翻译、勒记德多项式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 legendre polynomial

分词翻译：

勒的英语翻译：

rein in; tie sth. tight
【医】 lux; meter candle

记的英语翻译：

bear in mind; mark; notes; record; remember; write down

德的英语翻译：

heart; mind; morals; virtue

多项式的英语翻译：

multinomial; polynomial; quantic
【计】 P; polynomial

专业解析

Legendre多项式（Legendre polynomials）是数学物理中一类重要的正交多项式，得名于法国数学家Adrien-Marie Legendre。其在球坐标系、电势理论及量子力学等领域有广泛应用，常被用于解Legendre微分方程或展开函数级数。以下从汉英对照与数学定义角度进行详细解释：

数学定义与表达式
Legendre多项式的标准定义基于Rodrigues公式： $$ P_n(x) = frac{1}{2^n n!} frac{d^n}{dx^n} left( x - 1 right)^n $$ 其中，( n )为非负整数，表示多项式的阶数。例如，( P_0(x)=1 )，( P_1(x)=x )，( P_2(x)=frac{1}{2}(3x-1) )。
正交性与归一化条件
Legendre多项式在区间 ([-1, 1]) 上关于权重函数 ( w(x)=1 ) 正交，满足： $$ int_{-1} P_m(x) Pn(x) dx = frac{2}{2n+1} delta{mn} $$ 这一性质使其在函数展开（如傅里叶-Legendre级数）中具有关键作用。
应用领域

物理学：用于描述球对称系统中的势场分布（如静电场或引力场）。
工程学：应用于天线辐射模式或地球重力场建模。
量子力学：氢原子波函数的角向部分涉及连带Legendre多项式。

扩展概念
连带Legendre多项式（Associated Legendre polynomials）是其推广形式，定义为： $$ P_n^m(x) = (-1)^m (1-x)^{m/2} frac{d^m}{dx^m} P_n(x) $$ 用于处理更复杂的偏微分方程，如三维波动方程。

参考来源：

Abramowitz, M. & Stegun, I. A. Handbook of Mathematical Functions（美国国家标准局数学函数手册）
Arfken, G. B. & Weber, H. J. Mathematical Methods for Physicists（学术出版社）
Weisstein, E. W. Legendre Polynomial（MathWorld在线数学资源）

网络扩展解释

“勒记德多项式”可能是“勒让德多项式”（Legendre Polynomials）的误写。这是数学和物理学中一类重要的正交多项式，常用于解决微分方程、电势理论等问题。以下是详细解释：

1.定义与表达式

勒让德多项式是定义在区间 ([-1, 1]) 上的一组正交多项式，满足特定微分方程： $$ (1 - x) frac{d y}{dx} - 2x frac{dy}{dx} + n(n+1)y = 0 $$ 其通项可通过罗德里格斯公式表示： $$ P_n(x) = frac{1}{2^n n!} frac{d^n}{dx^n} left[(x - 1)^n right]

2.性质

正交性：在区间 ([-1, 1]) 上，不同阶的勒让德多项式满足正交关系： $$ int_{-1} P_m(x) P_n(x) dx = 0 quad (m eq n) $$
递推关系：高阶多项式可通过低阶多项式递推生成，例如： $$ (n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xPn(x) - nP{n-1}(x) $$

3.应用领域

数学物理：用于球坐标系下的拉普拉斯方程求解，如电势、引力场分析。
工程学：在信号处理、数值分析中作为基函数展开复杂函数。

4.与其他多项式的关联

勒让德多项式属于更广泛的正交多项式家族，类似埃尔米特多项式、拉盖尔多项式等，均具有特定的正交性和物理意义。

示例前几项

( P_0(x) = 1 )
( P_1(x) = x )
( P_2(x) = frac{1}{2}(3x - 1) )

若需更完整的公式或应用场景，可参考数学物理方法教材或专业文献。