常微分方程英文解释翻译、常微分方程的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 ordinary differential equation

constant; frequent; ordinary

【计】 differential equation

常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）是数学分析中的一个核心概念，指包含一个自变量、一个未知函数及其导数的关系式。其中“常”字强调方程中的未知函数仅依赖于一个自变量，区别于涉及多个自变量的偏微分方程（PDE）。

数学形式：常微分方程的标准形式可表示为： $$ Fleft(x, y, frac{dy}{dx}, frac{dy}{dx}, ldots, frac{d^ny}{dx^n}right) = 0 $$ 其中：
- $x$ 是自变量（Independent variable）。
- $y$ 是未知函数（Dependent variable），即需要求解的函数 $y(x)$。
- $frac{dy}{dx}, frac{dy}{dx}, ldots, frac{d^ny}{dx^n}$ 是函数 $y$ 关于 $x$ 的一阶、二阶直至 $n$ 阶导数（Derivatives）。
- $n$ 是方程中出现的最高阶导数的阶数，称为方程的阶（Order）。
- $F$ 是给定的函数关系。
典型示例：
- 一阶线性方程：$frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ （例如描述放射性衰变或RC电路）
- 二阶线性常系数齐次方程：$frac{dy}{dx} + afrac{dy}{dx} + by = 0$ （例如描述弹簧-质量系统的自由振动）
- 牛顿第二定律：$mfrac{dx}{dt} = F(t, x, frac{dx}{dt})$ （描述物体运动）

自变量与因变量：
- 自变量 (Independent variable)：通常是时间 ($t$)、空间位置 ($x$)，其变化是独立的。
- 因变量/未知函数 (Dependent variable/Unknown function)：如 $y(x)$ 或 $y(t)$，其值依赖于自变量，是需要求解的目标。
导数 (Derivatives)：表示未知函数相对于自变量的变化率（一阶导）、曲率或加速度（二阶导）等。方程建立了未知函数及其各阶导数之间的关系。
阶 (Order)：方程中出现的最高阶导数的阶数决定了方程的阶。$n$ 阶方程的一般解通常包含 $n$ 个独立的任意常数。
解 (Solution)：满足方程的（可微）函数称为常微分方程的解。包含所有任意常数的解称为通解 (General solution)；根据特定附加条件（如初始值）确定通解中常数后得到的解称为特解 (Particular solution)。

常微分方程是描述自然界和工程中动态系统演化规律的基础工具，应用极其广泛：

《数学物理方法》 (Methods of Mathematical Physics) by Courant & Hilbert：经典教材，深入阐述微分方程理论基础。
美国数学学会 (AMS) - ODE 词条：提供严谨的数学定义和分类：https://www.ams.org/
Wolfram MathWorld - Ordinary Differential Equation：详尽的数学百科解释与示例：https://mathworld.wolfram.com/
Khan Academy - Differential Equations：提供直观的教学视频和练习：https://www.khanacademy.org/

常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中研究含有一个自变量的未知函数及其导数的方程。其核心特征是方程中仅涉及单一自变量的函数关系，区别于涉及多个自变量的偏微分方程（PDE）。

一般形式
常微分方程可表示为：
$$ Fleft(x, y, y', y'', dots, y^{(n)}right) = 0 $$
其中 ( y = y(x) ) 是未知函数，( x ) 是自变量，( y^{(n)} ) 表示 ( y ) 的 ( n ) 阶导数。
阶数
方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶。例如：
- 一阶方程：( y' + y = 0 )
- 二阶方程：( y'' + 2y' + y = e^x )
线性与非线性
- 线性ODE：方程关于 ( y ) 及其导数均为一次项，例如 ( y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x) )。
- 非线性ODE：包含 ( y ) 或其导数的高次项、乘积项等，例如 ( y'' + y = 0 )。

常微分方程广泛用于描述自然规律，例如：

根据皮卡-林德洛夫定理，若函数及其偏导数在某一区域连续，则一阶ODE的初值问题在该区域内存在唯一解。