舍入誤差邊界英文解釋翻譯、舍入誤差邊界的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 round-off error bound

【計】 round-off error; rounding error; rounding off error
【經】 round-off error

border; boundary; frontier; limit; outskirts; verge
【計】 boundary

舍入誤差邊界（Rounding Error Bound）是數值計算中用于量化因舍入操作（Rounding）引起的最大可能誤差的理論上限。其核心概念如下：

中文術語：舍入誤差邊界
英文術語：Rounding Error Bound
定義：在浮點數運算中，由于計算機有限精度限制，實數需近似表示為機器數（如IEEE 754标準），此過程産生的誤差稱為舍入誤差。其邊界指該誤差的絕對值上界，通常表示為：
$$ |x - text{fl}(x)| leq epsilon cdot |x| $$

其中 (text{fl}(x)) 是實數 (x) 的機器表示，(epsilon) 為機器精度（Machine Epsilon）。

誤差累積：在疊代計算（如矩陣求解、微分方程數值解）中，舍入誤差可能通過算法放大，導緻結果偏離理論值。
穩定性分析：數值算法的穩定性依賴對舍入誤差邊界的控制。例如，向後誤差分析（Backward Error Analysis）将計算結果的偏差歸因于輸入數據的微小擾動。
IEEE 754标準：現代計算機遵循該标準定義舍入模式（如向最接近取整），并确保單次運算的誤差邊界嚴格可控。

NIST Digital Library of Mathematical Functions
提供誤差分析的理論框架（Chapter 3: Arithmetic）。

通過控制舍入誤差邊界，可提升科學計算的可靠性，尤其在航天工程、金融建模等高精度領域。

舍入誤差邊界是指在進行數值計算時，由于計算機或計算工具的字長限制，對數據進行近似表示或運算後，舍入誤差的最大允許範圍或理論上界。以下是詳細解釋：

舍入誤差是因計算機用有限位數表示實數時，通過四舍五入或其他規則取近似值而産生的誤差。例如，無限小數 $sqrt{2}$ 在計算機中隻能保留有限位數，導緻近似值與真實值之間的差異。

絕對誤差邊界
表示近似值 $x^$ 與真實值 $x$ 的絕對差值上限，記為 $varepsilon^$，滿足：
$$|x^ - x| leq varepsilon^$$
例如，若用四舍五入保留小數點後兩位，則絕對誤差邊界為 $0.5 times 10^{-2}$。
相對誤差邊界
表示絕對誤差與真實值的比值上限，記為 $varepsilon_r^$，滿足：
$$frac{|x^ - x|}{|x|} leq varepsilon_r^*$$
相對誤差邊界常用于衡量誤差的比例影響。

計算機字長：如單精度浮點數（32位）的機器精度為 $2^{-23} approx 1.19 times 10^{-7}$，雙精度（64位）為 $2^{-52} approx 2.22 times 10^{-16}$。
數值表示規則：IEEE 754标準中，舍入模式（如向最近偶數舍入）會影響誤差分布。

舍入誤差邊界是數值計算穩定性的關鍵指标。若誤差在邊界内，結果可信；若多次運算導緻誤差累積超過邊界，可能使計算結果失效。

舍入誤差邊界通過絕對誤差限和相對誤差限量化了近似計算的精度範圍，其大小取決于計算機的數值表示方式和運算規則。如需進一步了解具體計算案例，可參考和中的公式推導。