舍入误差边界英文解释翻译、舍入误差边界的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 round-off error bound

【计】 round-off error; rounding error; rounding off error
【经】 round-off error

border; boundary; frontier; limit; outskirts; verge
【计】 boundary

舍入误差边界（Rounding Error Bound）是数值计算中用于量化因舍入操作（Rounding）引起的最大可能误差的理论上限。其核心概念如下：

中文术语：舍入误差边界
英文术语：Rounding Error Bound
定义：在浮点数运算中，由于计算机有限精度限制，实数需近似表示为机器数（如IEEE 754标准），此过程产生的误差称为舍入误差。其边界指该误差的绝对值上界，通常表示为：
$$ |x - text{fl}(x)| leq epsilon cdot |x| $$

其中 (text{fl}(x)) 是实数 (x) 的机器表示，(epsilon) 为机器精度（Machine Epsilon）。

误差累积：在迭代计算（如矩阵求解、微分方程数值解）中，舍入误差可能通过算法放大，导致结果偏离理论值。
稳定性分析：数值算法的稳定性依赖对舍入误差边界的控制。例如，向后误差分析（Backward Error Analysis）将计算结果的偏差归因于输入数据的微小扰动。
IEEE 754标准：现代计算机遵循该标准定义舍入模式（如向最接近取整），并确保单次运算的误差边界严格可控。

NIST Digital Library of Mathematical Functions
提供误差分析的理论框架（Chapter 3: Arithmetic）。

通过控制舍入误差边界，可提升科学计算的可靠性，尤其在航天工程、金融建模等高精度领域。

舍入误差边界是指在进行数值计算时，由于计算机或计算工具的字长限制，对数据进行近似表示或运算后，舍入误差的最大允许范围或理论上界。以下是详细解释：

舍入误差是因计算机用有限位数表示实数时，通过四舍五入或其他规则取近似值而产生的误差。例如，无限小数 $sqrt{2}$ 在计算机中只能保留有限位数，导致近似值与真实值之间的差异。

绝对误差边界
表示近似值 $x^$ 与真实值 $x$ 的绝对差值上限，记为 $varepsilon^$，满足：
$$|x^ - x| leq varepsilon^$$
例如，若用四舍五入保留小数点后两位，则绝对误差边界为 $0.5 times 10^{-2}$。
相对误差边界
表示绝对误差与真实值的比值上限，记为 $varepsilon_r^$，满足：
$$frac{|x^ - x|}{|x|} leq varepsilon_r^*$$
相对误差边界常用于衡量误差的比例影响。

计算机字长：如单精度浮点数（32位）的机器精度为 $2^{-23} approx 1.19 times 10^{-7}$，双精度（64位）为 $2^{-52} approx 2.22 times 10^{-16}$。
数值表示规则：IEEE 754标准中，舍入模式（如向最近偶数舍入）会影响误差分布。

舍入误差边界是数值计算稳定性的关键指标。若误差在边界内，结果可信；若多次运算导致误差累积超过边界，可能使计算结果失效。

舍入误差边界通过绝对误差限和相对误差限量化了近似计算的精度范围，其大小取决于计算机的数值表示方式和运算规则。如需进一步了解具体计算案例，可参考和中的公式推导。