生成多項式英文解釋翻譯、生成多項式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generator polynomial

分詞翻譯：

生成的英語翻譯：

【計】 generating; spanning
【醫】 production

多項式的英語翻譯：

multinomial; polynomial; quantic
【計】 P; polynomial

專業解析

生成多項式（Generator Polynomial）是編碼理論中用于構造循環碼的核心數學工具，其定義為滿足特定代數結構的不可約多項式。該多項式在有限域（Galois域）上定義，能夠通過多項式除法操作生成具有糾錯能力的線性分組碼。

從數學角度，生成多項式需滿足兩個條件：1）是循環碼長度n對應的xn-1的因式；2）次數等于碼字冗餘位數。其标準表達式可表示為： $$ g(x) = g_0 + g_1x + cdots + g_rx^r $$ 其中系數g_i∈GF(2)，r為碼字冗餘度。

在通信系統應用中，生成多項式通過以下機制發揮作用：

編碼生成：将信息多項式m(x)與x^r相乘後模除g(x)，得到系統碼字
錯誤檢測：接收端通過校驗接收多項式是否能被g(x)整除來判斷傳輸錯誤
參數決定：多項式次數決定碼距，根分布影響糾錯能力

典型實例包括CRC-16标準采用的生成多項式： $$ x^{16} + x^{15} + x + 1 $$ 該多項式被廣泛應用于以太網校驗（參見IEEE 802.3标準文檔。

權威參考文獻：

循環碼構造原理（Springer《編碼理論基礎》第4章）
多項式選擇準則（MIT開放課程6.451講義）
工業标準應用（IEEE Transactions on Information Theory Vol.32）

網絡擴展解釋

生成多項式（Generator Polynomial）是編碼理論中的一個核心概念，尤其在循環碼（如CRC、BCH碼、RS碼）中廣泛應用。它用于構造糾錯碼的碼字，确保數據傳輸或存儲的可靠性。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

生成多項式是一個特定的多項式，其系數由二進制或其他有限域元素構成。在循環碼中，所有有效的碼字多項式都必須是生成多項式的倍式。例如，若生成多項式為 ( g(x) )，則碼字多項式 ( c(x) ) 滿足： $$ c(x) = m(x) cdot g(x) $$ 其中 ( m(x) ) 是信息位對應的多項式。

2. 關鍵作用

生成碼字：通過将信息多項式與生成多項式相乘，生成包含冗餘校驗位的碼字。
确定碼長：生成多項式的次數 ( r ) 決定了校驗位的數量，碼長通常為 ( n = 2^r - 1 )（如CRC-16對應16位校驗碼）。
糾錯能力：生成多項式的設計直接影響碼的糾錯能力。例如，BCH碼的生成多項式需包含多個根以檢測多位錯誤。

3. 實際應用示例

CRC校驗：在循環冗餘校驗（CRC）中，生成多項式用于計算校驗和。例如：
- CRC-16-CCITT 的生成多項式為 ( x^{16} + x^{12} + x + 1 )。
循環碼構造：在RS碼中，生成多項式由多個根構成，如 ( g(x) = (x - alpha)(x - alpha)cdots(x - alpha^{2t}) )，其中 ( alpha ) 是有限域元素，( t ) 為糾錯能力。

4. 數學性質

因式分解：生成多項式通常是 ( x^n - 1 ) 的因式（( n ) 為碼長）。
循環性：碼字的循環移位仍為有效碼字，這一性質由生成多項式保證。

5. 與其他概念的區别

生成函數：數學中的生成函數是無限級數，而生成多項式是有限項，常用于編碼等離散場景。
校驗多項式：與生成多項式互補，用于解碼時校驗錯誤。

如果需要具體領域的擴展（如有限域運算或生成多項式構造方法），可進一步說明。