散度定理英文解釋翻譯、散度定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 divergence theorem

分詞翻譯：

散的英語翻譯：

come loose; dispel; disperse; disseminate; fall apart; give out; scatter

度的英語翻譯：

consideration; tolerance; degree; limit; linear measure; surmise; estimate
extent
【計】 degrees; k.w.h.
【化】 dimension; kilowatt hour
【醫】 Deg.; degree
【經】 degree

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

散度定理（Divergence Theorem），又稱高斯定理（Gauss's Theorem），是矢量分析中的一個核心定理，它建立了三維空間中一個向量場通過一個閉合曲面的通量與該向量場在曲面所包圍體積内的散度之間的積分關系。

1. 數學定義與公式（Mathematical Definition and Formula）散度定理的數學表述為：對于一個光滑的閉合曲面 ( S ) 及其所包圍的體積 ( V )，以及定義在 ( V ) 及其邊界 ( S ) 上的連續可微向量場 ( mathbf{F} = (P, Q, R) )，有： $$ iiint_V ( abla cdot mathbf{F})dV = iint_S mathbf{F} cdot mathbf{n}dS $$ 其中：

( abla cdot mathbf{F}) 是向量場 ( mathbf{F} ) 的散度（Divergence），是一個标量函數，表示場在某點的“源強度”（source strength）或“彙強度”（sink strength）。
(iint_S mathbf{F} cdot mathbf{n}dS) 是向量場 ( mathbf{F} ) 通過閉合曲面 ( S ) 的通量（Flux），表示場線穿過該曲面的淨流量。( mathbf{n} ) 是曲面 ( S ) 的單位外法向量（outward-pointing unit normal vector）。
(iiint_V ... dV) 表示在體積 ( V ) 上的三重積分（volume integral）。
(iint_S ... dS) 表示在曲面 ( S ) 上的第二類曲面積分（surface integral）。

2. 物理意義（Physical Interpretation）散度定理揭示了向量場在空間區域内的“源/彙”特性與其在邊界上的“流出/流入”行為之間的緊密聯繫：

左側（體積分）：計算了向量場 ( mathbf{F} ) 在體積 ( V ) 内所有點産生的“源”（散度為正）或“彙”（散度為負）的總量。散度為正表示該點有淨流出（如流體源點），散度為負表示有淨流入（如流體彙點）。
右側（面積分）：計算了向量場 ( mathbf{F} ) 穿過整個閉合曲面 ( S ) 的淨通量。淨通量為正表示總體上向量場是向外“流出”體積 ( V ) 的；淨通量為負則表示總體上向量場是“流入”體積 ( V ) 的。
定理的核心：體積 ( V ) 内所有源（産生）和彙（吸收）的總效應，精确地等于向量場通過其邊界曲面 ( S ) 的淨流出量。這體現了某種“守恒”性質，例如在流體力學中，它聯繫了流體在區域内部的淨産生率與通過邊界的淨流出率。

3. 應用場景（Applications）散度定理在物理學和工程學的多個領域有廣泛應用：

電磁學（Electromagnetism）：它是麥克斯韋方程組（Maxwell's Equations）積分形式推導微分形式的基礎。例如，高斯電場定律 (iintS mathbf{E} cdot dmathbf{a} = frac{Q{text{enc}}}{epsilon_0}) 應用散度定理可得到微分形式 ( abla cdot mathbf{E} = frac{rho}{epsilon_0})，揭示了電荷密度 ( rho ) 是電場 ( mathbf{E} ) 的源。
流體力學（Fluid Dynamics）：用于推導連續性方程（Continuity Equation）。流體的質量守恒可表述為：區域内流體質量的淨增加率等于通過邊界流入的淨質量流率。應用散度定理可将面積分形式的守恒律轉化為微分形式的連續性方程 (frac{partial rho}{partial t} + abla cdot (rho mathbf{v}) = 0)，其中 ( rho ) 是密度， ( mathbf{v} ) 是速度場。
熱傳導（Heat Transfer）：在傅裡葉熱傳導定律中，散度定理用于建立熱流密度與溫度分布之間的關系。
理論推導與計算簡化：它提供了一種将複雜的面積分轉化為相對容易計算的體積分（或反之）的方法，簡化了計算過程。

權威參考來源：

《中國大百科全書》數學卷：對散度定理（高斯定理）有嚴謹的數學定義和公式表述，是權威的中文參考。詳見數學卷“矢量分析”或“場論”相關條目。
《數學手冊》高等教育出版社：包含散度定理的标準形式、證明思路和應用舉例。
MIT OpenCourseWare - Multivariable Calculus (18.02): 提供了散度定理的詳細講解、幾何直觀解釋和計算實例。課程資料可在其官網獲取。
Khan Academy - Multivariable Calculus: 提供關于散度定理的直觀視頻講解和物理意義闡釋。可在其官網免費學習。
Wolfram MathWorld - Divergence Theorem: 提供嚴格的數學定義、公式和相關鍊接。是權威的線上數學百科全書。

網絡擴展解釋

散度定理（Divergence Theorem），又稱高斯定理（Gauss's Theorem），是向量分析中的核心定理之一，它将閉合曲面上的通量積分與該曲面所包圍體積内的散度體積分聯繫起來。以下是詳細解釋：

1. 定理的數學表述

散度定理的公式為： $$ oint{S} mathbf{F} cdot dmathbf{A} = int{V} abla cdot mathbf{F} , dV $$

左側：表示向量場 (mathbf{F}) 通過閉合曲面 (S) 的淨通量（流出量減去流入量）。
右側：表示向量場 (mathbf{F}) 在體積 (V) 内所有點的散度（( abla cdot mathbf{F})）的積分。
符號說明：
- (mathbf{F}) 是一個連續可微的向量場（如流速場、電場等）。
- (S) 是體積 (V) 的閉合邊界曲面，需分片光滑。
- (dmathbf{A}) 是曲面的微元面積矢量，方向垂直于曲面向外。

2. 物理意義

散度定理揭示了宏觀通量與微觀源的關系：

通量（左側）：衡量向量場穿過閉合曲面的總流量，例如流體流出曲面的總質量或電場線穿出曲面的總條數。
散度（右側）：描述向量場在某點的“發散強度”。若 ( abla cdot mathbf{F} > 0)，表示該點是“源”；若 ( abla cdot mathbf{F} < 0)，則為“彙”。

通俗理解：閉合曲面内的所有微小源（發散點）的總貢獻，等于通過這些源産生的場從曲面流出的總量。

3. 應用領域

散度定理在物理學和工程學中廣泛應用：

電磁學：高斯定律（電場通量與電荷量的關系）即散度定理的直接應用。
流體力學：計算流體通過封閉區域的流量。
熱力學：推導熱傳導方程時，将表面積分轉化為體積積分。

4. 舉例說明

假設有一個均勻帶電球體，電荷密度為 (rho)，求球外電場：

利用高斯定理：選擇與球同心的球面 (S)，其通量為 (oint mathbf{E} cdot dmathbf{A} = E cdot 4pi r)。
右側體積分：(int abla cdot mathbf{E} , dV = frac{rho}{epsilon_0} cdot frac{4}{3}pi R)（(R) 為球體半徑）。
聯立方程：解得電場 (E = frac{rho R}{3epsilon_0 r})，與庫侖定律一緻。

5. 定理條件

向量場 (mathbf{F}) 必須在體積 (V) 内連續可微。
曲面 (S) 需為閉合、分片光滑的曲面。

散度定理将複雜的曲面積分轉化為更易計算的體積積分，是連接微分運算與積分運算的橋梁，也是理解守恒定律（如質量守恒、電荷守恒）的關鍵工具。