散度定理英文解释翻译、散度定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 divergence theorem

分词翻译：

散的英语翻译：

come loose; dispel; disperse; disseminate; fall apart; give out; scatter

度的英语翻译：

consideration; tolerance; degree; limit; linear measure; surmise; estimate
extent
【计】 degrees; k.w.h.
【化】 dimension; kilowatt hour
【医】 Deg.; degree
【经】 degree

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

散度定理（Divergence Theorem），又称高斯定理（Gauss's Theorem），是矢量分析中的一个核心定理，它建立了三维空间中一个向量场通过一个闭合曲面的通量与该向量场在曲面所包围体积内的散度之间的积分关系。

1. 数学定义与公式（Mathematical Definition and Formula）散度定理的数学表述为：对于一个光滑的闭合曲面 ( S ) 及其所包围的体积 ( V )，以及定义在 ( V ) 及其边界 ( S ) 上的连续可微向量场 ( mathbf{F} = (P, Q, R) )，有： $$ iiint_V ( abla cdot mathbf{F})dV = iint_S mathbf{F} cdot mathbf{n}dS $$ 其中：

( abla cdot mathbf{F}) 是向量场 ( mathbf{F} ) 的散度（Divergence），是一个标量函数，表示场在某点的“源强度”（source strength）或“汇强度”（sink strength）。
(iint_S mathbf{F} cdot mathbf{n}dS) 是向量场 ( mathbf{F} ) 通过闭合曲面 ( S ) 的通量（Flux），表示场线穿过该曲面的净流量。( mathbf{n} ) 是曲面 ( S ) 的单位外法向量（outward-pointing unit normal vector）。
(iiint_V ... dV) 表示在体积 ( V ) 上的三重积分（volume integral）。
(iint_S ... dS) 表示在曲面 ( S ) 上的第二类曲面积分（surface integral）。

2. 物理意义（Physical Interpretation）散度定理揭示了向量场在空间区域内的“源/汇”特性与其在边界上的“流出/流入”行为之间的紧密联系：

左侧（体积分）：计算了向量场 ( mathbf{F} ) 在体积 ( V ) 内所有点产生的“源”（散度为正）或“汇”（散度为负）的总量。散度为正表示该点有净流出（如流体源点），散度为负表示有净流入（如流体汇点）。
右侧（面积分）：计算了向量场 ( mathbf{F} ) 穿过整个闭合曲面 ( S ) 的净通量。净通量为正表示总体上向量场是向外“流出”体积 ( V ) 的；净通量为负则表示总体上向量场是“流入”体积 ( V ) 的。
定理的核心：体积 ( V ) 内所有源（产生）和汇（吸收）的总效应，精确地等于向量场通过其边界曲面 ( S ) 的净流出量。这体现了某种“守恒”性质，例如在流体力学中，它联系了流体在区域内部的净产生率与通过边界的净流出率。

3. 应用场景（Applications）散度定理在物理学和工程学的多个领域有广泛应用：

电磁学（Electromagnetism）：它是麦克斯韦方程组（Maxwell's Equations）积分形式推导微分形式的基础。例如，高斯电场定律 (iintS mathbf{E} cdot dmathbf{a} = frac{Q{text{enc}}}{epsilon_0}) 应用散度定理可得到微分形式 ( abla cdot mathbf{E} = frac{rho}{epsilon_0})，揭示了电荷密度 ( rho ) 是电场 ( mathbf{E} ) 的源。
流体力学（Fluid Dynamics）：用于推导连续性方程（Continuity Equation）。流体的质量守恒可表述为：区域内流体质量的净增加率等于通过边界流入的净质量流率。应用散度定理可将面积分形式的守恒律转化为微分形式的连续性方程 (frac{partial rho}{partial t} + abla cdot (rho mathbf{v}) = 0)，其中 ( rho ) 是密度， ( mathbf{v} ) 是速度场。
热传导（Heat Transfer）：在傅里叶热传导定律中，散度定理用于建立热流密度与温度分布之间的关系。
理论推导与计算简化：它提供了一种将复杂的面积分转化为相对容易计算的体积分（或反之）的方法，简化了计算过程。

权威参考来源：

《中国大百科全书》数学卷：对散度定理（高斯定理）有严谨的数学定义和公式表述，是权威的中文参考。详见数学卷“矢量分析”或“场论”相关条目。
《数学手册》高等教育出版社：包含散度定理的标准形式、证明思路和应用举例。
MIT OpenCourseWare - Multivariable Calculus (18.02): 提供了散度定理的详细讲解、几何直观解释和计算实例。课程资料可在其官网获取。
Khan Academy - Multivariable Calculus: 提供关于散度定理的直观视频讲解和物理意义阐释。可在其官网免费学习。
Wolfram MathWorld - Divergence Theorem: 提供严格的数学定义、公式和相关链接。是权威的在线数学百科全书。

网络扩展解释

散度定理（Divergence Theorem），又称高斯定理（Gauss's Theorem），是向量分析中的核心定理之一，它将闭合曲面上的通量积分与该曲面所包围体积内的散度体积分联系起来。以下是详细解释：

1. 定理的数学表述

散度定理的公式为： $$ oint{S} mathbf{F} cdot dmathbf{A} = int{V} abla cdot mathbf{F} , dV $$

左侧：表示向量场 (mathbf{F}) 通过闭合曲面 (S) 的净通量（流出量减去流入量）。
右侧：表示向量场 (mathbf{F}) 在体积 (V) 内所有点的散度（( abla cdot mathbf{F})）的积分。
符号说明：
- (mathbf{F}) 是一个连续可微的向量场（如流速场、电场等）。
- (S) 是体积 (V) 的闭合边界曲面，需分片光滑。
- (dmathbf{A}) 是曲面的微元面积矢量，方向垂直于曲面向外。

2. 物理意义

散度定理揭示了宏观通量与微观源的关系：

通量（左侧）：衡量向量场穿过闭合曲面的总流量，例如流体流出曲面的总质量或电场线穿出曲面的总条数。
散度（右侧）：描述向量场在某点的“发散强度”。若 ( abla cdot mathbf{F} > 0)，表示该点是“源”；若 ( abla cdot mathbf{F} < 0)，则为“汇”。

通俗理解：闭合曲面内的所有微小源（发散点）的总贡献，等于通过这些源产生的场从曲面流出的总量。

3. 应用领域

散度定理在物理学和工程学中广泛应用：

电磁学：高斯定律（电场通量与电荷量的关系）即散度定理的直接应用。
流体力学：计算流体通过封闭区域的流量。
热力学：推导热传导方程时，将表面积分转化为体积积分。

4. 举例说明

假设有一个均匀带电球体，电荷密度为 (rho)，求球外电场：

利用高斯定理：选择与球同心的球面 (S)，其通量为 (oint mathbf{E} cdot dmathbf{A} = E cdot 4pi r)。
右侧体积分：(int abla cdot mathbf{E} , dV = frac{rho}{epsilon_0} cdot frac{4}{3}pi R)（(R) 为球体半径）。
联立方程：解得电场 (E = frac{rho R}{3epsilon_0 r})，与库仑定律一致。

5. 定理条件

向量场 (mathbf{F}) 必须在体积 (V) 内连续可微。
曲面 (S) 需为闭合、分片光滑的曲面。

散度定理将复杂的曲面积分转化为更易计算的体积积分，是连接微分运算与积分运算的桥梁，也是理解守恒定律（如质量守恒、电荷守恒）的关键工具。