群變換英文解釋翻譯、群變換的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 group translating

分詞翻譯：

群的英語翻譯：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【醫】 group; herd

變換的英語翻譯：

alternate; switch; transform; commutation
【計】 reforming; transform
【化】 transform; transformation

專業解析

群變換（Group Transformation）是數學（尤其是群論）和物理學中的核心概念，指一個群（Group）的元素按照特定規則作用于某個集合（如空間、函數或其他數學對象）的過程或映射。其核心在于群的結構（如封閉性、結合律、單位元、逆元）決定了變換的性質，使得變換具有整體性和對稱性。

1. 數學定義與核心思想在數學上，群變換通常指一個群作用（Group Action）。設 ( G ) 是一個群，( X ) 是一個集合。一個從 ( G times X ) 到 ( X ) 的映射（通常記作 ( g cdot x ) 或 ( g(x) )）稱為群 ( G ) 在集合 ( X ) 上的一個作用或變換，如果它滿足：

單位元作用不變： ( e cdot x = x ) （其中 ( e ) 是 ( G ) 的單位元，對所有 ( x in X )）。
作用結合律： ( (gh) cdot x = g cdot (h cdot x) ) （對所有 ( g, h in G ) 和 ( x in X )）。這表示群元素 ( g ) 将集合中的元素 ( x ) 變換為另一個元素 ( g cdot x )。群變換的本質是群的結構通過其元素的操作在集合 ( X ) 上得到體現，這種操作通常具有對稱性。例如，三維空間中所有旋轉構成的群（旋轉群 SO(3)）作用于空間中的點，就是旋轉變換。

2. 物理應用與意義在物理學中，群變換是描述對稱性和基本相互作用的基石：

時空對稱性：如平移群作用于時空坐标，描述空間均勻性或時間平移不變性；洛倫茲群作用于時空坐标，是狹義相對論的基礎，描述時空在不同慣性系下的變換規律。
規範對稱性：如 U(1) 群作用于電磁場的波函數，是電磁相互作用的規範理論核心；SU(3) 群作用于誇克場，描述強相互作用的色動力學（QCD）。這些變換揭示了基本力的内在對稱性。
晶體對稱性：空間群作用于晶體結構，描述晶體原子排列的周期性對稱操作（如旋轉、反射、平移及其組合）。
量子力學對稱性：對稱群作用于量子系統的态矢量或可觀測量。例如，角動量算符滿足 SU(2) 或 SO(3) 群的李代數，其對稱變換與系統的旋轉不變性相關。

3. 漢英術語對照

群 (Group)：具有封閉性、結合律、單位元和逆元四種基本性質的代數結構。
變換 (Transformation)：指将一個對象映射為另一個對象的操作。
群變換 (Group Transformation)：指群元素按照群結構規則執行的變換操作。
群作用 (Group Action)：群變換的數學術語，強調群對集合的“作用”。
對稱操作 (Symmetry Operation)：在物理和化學中常指保持系統不變的群變換元素（如旋轉、反射）。
表示論 (Representation Theory)：研究群如何通過線性變換（矩陣）作用在向量空間上的理論，是連接抽象群與具體變換的重要橋梁。

來源參考：

數學基礎：該定義和性質是抽象代數（Abstract Algebra）和群論（Group Theory）的标準内容，可參考經典教材如 Michael Artin 的 Algebra (Chapter 6: Group Actions) 或 Dummit & Foote 的 Abstract Algebra (Chapter 1.7: Group Actions)。
物理應用：群變換在物理學中的應用是現代理論物理的核心工具。相關内容可參考：
- Wu-Ki Tung 的 Group Theory in Physics (介紹群論在物理中的系統應用)。
- 物理學标準教材中關于對稱性和守恒定律的章節（如 Goldstein 的 Classical Mechanics 讨論諾特定理，Sakurai 的 Modern Quantum Mechanics 讨論角動量和對稱性）。
- 規範場論教材（如 Peskin & Schroeder 的 An Introduction to Quantum Field Theory）深入讨論規範變換。

網絡擴展解釋

“群變換”是數學中群論與變換概念的結合，其核心含義可以從以下三方面解釋：

一、基礎定義

在群論框架下，群變換指一組滿足群公理的變換集合。具體指：

變換：指非空集合$S$到自身的一一映射（即雙射）。例如平移、旋轉等操作。
群結構：這些變換需滿足群的四條公理：
- 封閉性：任意兩個變換的乘積仍屬于該集合；
- 結合律：$(f circ g) circ h = f circ (g circ h)$；
- 單位元存在：存在恒等變換$e$，使得$e circ f = f circ e = f$；
- 逆元存在：每個變換$f$都有逆變換$f^{-1}$，使得$f circ f^{-1} = e$。

二、數學性質

變換群：所有一一變換組成的集合$T(S)$，在映射乘法下構成群，稱為對稱群或全變換群。
典型例子：平移變換群、旋轉變換群等。例如，平面上所有平移操作構成的集合滿足群條件。

三、應用場景

在編碼理論中，群變換方法被用于簡化BCH碼（糾錯碼）的編解碼過程，通過群的結構性質優化計算步驟。

提示：如需具體數學證明或更多應用案例，可進一步查閱群論教材或編碼理論文獻。