曲率半徑英文解釋翻譯、曲率半徑的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 radius of curvature

分詞翻譯：

曲的英語翻譯：

bend; bent; crooked; melody; music; song; wrong
【化】 distiller's yeast; distillery yeast
【醫】 bend; curvatura; curvature; cyrto-; flexura; flexurae; flexure; leaven

率的英語翻譯：

frank; hasty; lead; modulus; quotiety; rash; rate; ratio; usually
【醫】 rate
【經】 rater.

半徑的英語翻譯：

radii; radius; semidiameter
【計】 R
【醫】 radii; rndius

專業解析

曲率半徑（Radius of Curvature）是描述曲線在某一點處彎曲程度的一個關鍵幾何量。從漢英詞典的角度來看，其核心含義可概括為：

中文定義：

曲率半徑指曲線或曲面在某一點處的曲率（curvature）的倒數，即 ( R = frac{1}{kappa} )（其中 (kappa) 為曲率）。它表示該點處最貼近曲線的圓弧（密切圓）的半徑。曲率半徑越小，曲線在該點的彎曲程度越劇烈；反之則越平緩。

英文對應術語：

Radius of Curvature（縮寫：ROC）

數學定義與公式

對于平面曲線 ( y = f(x) )，曲率半徑 ( R ) 的計算公式為： $$ R = frac{ left(1 + left( frac{dy}{dx} right) right)^{3/2} }{ left| frac{dy}{dx} right| } $$ 此公式源于微積分中曲率 (kappa) 的定義（(kappa = frac{|y''|}{(1 + (y'))^{3/2}})），故 ( R = frac{1}{kappa} )。

應用場景

工程與設計
在道路、軌道設計中，需計算彎道的曲率半徑以确保安全轉彎半徑。例如，高速公路的最小曲率半徑需滿足車輛離心力限制。

光學與透鏡
透鏡表面的曲率半徑直接影響焦距，如凸透鏡焦距公式 ( f = frac{R}{2} )（近似薄透鏡模型）。

物理學
帶電粒子在磁場中的運動軌迹曲率半徑由洛倫茲力決定：( R = frac{mv}{qB} )（( m ) 為質量，( v ) 為速度，( q ) 為電荷量，( B ) 為磁感應強度）。

權威參考來源

《數學詞典》（中文）
定義曲率半徑為“曲線在某點處的曲率的倒數，表征曲線局部彎曲程度”。

Wolfram MathWorld
英文詳解曲率半徑的數學推導與幾何意義（公式見上文）。

《工程數學手冊》
強調其在機械工程中的應用，如凸輪輪廓、齒輪齒形的曲率半徑計算。

幾何直觀理解

以圓周為例：圓的曲率半徑恒等于其半徑（( R = r )）。對于任意曲線，曲率半徑即該點處“最佳拟合圓”的半徑，此圓稱為“密切圓”（osculating circle），與曲線在該點具有相同的切線和曲率。

網絡擴展解釋

曲率半徑是微分幾何中描述曲線彎曲程度的核心概念，指某一點處與曲線最貼合的圓的半徑。具體解釋如下：

一、數學定義

曲率半徑（R）是曲率（κ）的倒數，即： $$ R = frac{1}{κ} $$ 對于平面曲線：

參數方程形式：曲線r(t)=(x(t), y(t))的曲率計算公式為 $$ κ = frac{|x'y'' - y'x''|}{(x' + y')^{3/2}} $$
顯函數形式：曲線y=f(x)的曲率公式簡化為 $$ κ = frac{|y''|}{(1 + y')^{3/2}} $$

二、幾何意義

在某點P的曲率半徑對應着該點處的密切圓（osculating circle），這個圓與曲線在P點具有：

相同的切線方向
相同的曲率值
圓心位于曲線凹側

三、典型示例

圓周：所有點的曲率半徑恒等于圓半徑（R=r）
直線：曲率半徑無窮大（R→∞）
抛物線y=ax²：頂點處曲率半徑最小（R=1/(2a)）

四、實際應用

工程設計中常用于：

道路轉彎半徑規劃
機械零件應力分析
光學透鏡曲面設計
航天器軌道計算

曲線的彎曲程度越劇烈，曲率半徑越小。這個概念将抽象的彎曲程度量化為具體幾何尺度，是連接數學理論與工程實踐的重要參數。