全序集英文解釋翻譯、全序集的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 simply-ordered set

分詞翻譯：

全的英語翻譯：

complete; entirely; full; whole
【醫】 pan-; pant-; panto-

序的英語翻譯：

foreword; initial; order; preface; prolegomenon; sequence

集的英語翻譯：

collect; collection; gather; volume
【電】 set

專業解析

全序集（Totally Ordered Set）是數學基礎理論中的重要概念，指集合中任意兩個元素均可比較的偏序結構。其英文對應術語為"totally ordered set"或"linearly ordered set"，在序理論中定義為：設$(P, leq)$為偏序集，若對$forall a,b in P$，必有$a leq b$或$b leq a$成立，則該偏序集稱為全序集。

核心數學特征

可比性：$forall x,y in P, x leq y vee y leq x$
反對稱性：$x leq y wedge y leq x Rightarrow x=y$
傳遞性：$x leq y wedge y leq z Rightarrow x leq z$

典型實例

實數集$mathbb{R}$在常規大小關系下構成全序集
字母表按字典序排列形成全序結構
時間軸上的事件序列具備天然的全序性

應用領域

在計算機科學中，全序集支撐着時間戳算法、分布式系統狀态機複制等關鍵技術。數學分析中的單調收斂定理也依賴于實數集的全序性質，這一特性在微積分基礎理論中具有奠基作用。

根據Springer數學百科全書的定義，全序關系區别于偏序的核心特征在于元素間的完全可比性，這種性質使全序集成為研究算法複雜度、數據庫索引等領域的理想數學模型。

網絡擴展解釋

全序集是數學中序理論的基本概念，指集合内任意兩個元素都可通過某種關系進行比較。以下是核心要點：

1.定義

全序集（Totally Ordered Set）是指一個集合 ( S ) 上定義了一個二元關系 ( leq )，滿足：

自反性：對任意 ( a in S )，有 ( a leq a )；
反對稱性：若 ( a leq b ) 且 ( b leq a )，則 ( a = b )；
傳遞性：若 ( a leq b ) 且 ( b leq c )，則 ( a leq c )；
完全性（可比性）：對任意 ( a, b in S )，必有 ( a leq b ) 或 ( b leq a )。

完全性是全序與偏序的核心區别：偏序集允許元素間“不可比”，但全序集不允許。

2.例子

自然數集 ( mathbb{N} )：在通常的“小于等于”關系下是全序的。
實數集 ( mathbb{R} )：所有實數均可比較大小。
字典序排列的單詞：如按字母順序排列的英文單詞列表。
非全序示例：集合的幂集（所有子集組成的集合）在包含關系 ( subseteq ) 下是偏序集，而非全序集（例如兩個不同子集可能互不包含）。

3.相關概念

鍊（Chain）：偏序集中的全序子集。
全序與良序：良序集要求每個非空子集都有最小元，全序集不一定滿足（如實數集 ( mathbb{R} ) 是全序但非良序）。
嚴格全序：若将 ( leq ) 替換為嚴格關系 ( < )，則需滿足傳遞性和三分性（任意兩元素要麼 ( a < b )、( b < a )，或 ( a = b )）。

4.應用領域

數學分析：實數集的完備性依賴全序性質。
計算機科學：排序算法需基于全序關系（如快速排序、二叉搜索樹）。
邏輯與集合論：研究無限集的序結構（如康托爾的對角線論證）。

總結來說，全序集通過“完全可比性”為元素提供了明确的線性排列，是數學和計算機科學中處理順序問題的基石。