求積公式英文解釋翻譯、求積公式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 quadrature formula

分詞翻譯：

求的英語翻譯：

beg; entreat; request; seek; try

積的英語翻譯：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product

公式的英語翻譯：

formula
【計】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【醫】 F.; formula

專業解析

"求積公式"在數學領域，特别是在數值分析中，是一個核心概念。其對應的英文術語是Quadrature Formula。

詳細解釋：

基本定義：
- 中文角度："求積公式"指用于近似計算定積分值的一類數值方法或公式。其目标是通過有限個函數值的加權和來逼近積分 (int_a^b f(x) , dx) 的結果。
- 英文角度：Aquadrature formula is a numerical method designed toapproximate the definite integral of a function. It typically expresses the integral as a weighted sum of function values evaluated at specific points (nodes) within the integration interval ([a, b])。其一般形式可表示為： $$ inta^b f(x) , dx approx sum{i=0}^n w_i f(x_i) $$ 其中：
  - (x_i) 稱為求積節點 (quadrature nodes)，是區間 ([a, b]) 内預先選定的點。
  - (w_i) 稱為求積系數 (quadrature weights)，是與節點 (x_i) 對應的權重系數。
  - (n) 通常代表使用的節點數量或公式的階數。
核心目的與應用：
- 近似計算：當被積函數 (f(x)) 的原函數難以求得（如函數由實驗數據給出），或者積分無法用解析方法精确計算時，求積公式提供了一種有效的數值計算途徑。
- 理論基礎：求積公式的構造通常基于插值多項式。例如，用插值多項式 (P_n(x)) 代替被積函數 (f(x))，然後對多項式進行精确積分得到近似公式。其誤差分析依賴于插值多項式的餘項。
- 常見類型：根據節點選擇方式的不同，求積公式主要分為兩大類：
  - Newton-Cotes 公式：節點在積分區間 ([a, b]) 上等距分布。常見的有：
    - 梯形公式 (Trapezoidal Rule)：使用兩個端點節點。
    - 辛普森公式 (Simpson's Rule)：使用兩個端點和一個中點節點。
  - Gauss 求積公式：節點在積分區間 ([a, b]) 上非等距分布，通過選擇特定的節點位置（Legendre多項式的零點）和對應的權重，使得公式具有最高的代數精度（對于不超過 (2n+1) 次的多項式能精确積分）。這是精度最高的常用求積公式。
關鍵術語對應：
- 求積公式 = Quadrature Formula
- 數值積分 = Numerical Integration (這是求積公式所屬的更廣泛領域)
- 求積節點 = Quadrature Nodes / Abscissas
- 求積系數 = Quadrature Weights
- 代數精度 = Degree of Precision / Algebraic Degree
- 梯形公式 = Trapezoidal Rule
- 辛普森公式 = Simpson's Rule
- 高斯求積公式 = Gaussian Quadrature

權威性參考來源：

全國科學技術名詞審定委員會 (CNTERM)：該機構負責審定和發布中國各學科領域的規範科技名詞。"求積公式"、"數值積分"、"高斯求積"等術語均為其審定的規範名詞。其發布的《數學名詞》等出版物是權威來源。
中國數學會 (CMS)：作為中國數學界的權威學術組織，其官方網站和出版物（如《數學學報》等期刊）是數學術語和概念的重要參考來源。數值分析是數學會關注的重要分支領域。
知名高校數學系教材：如高等教育出版社出版的《數值分析》或《數值計算方法》教材（作者如李慶揚、王能超、易大義等），對"求積公式"有系統、嚴謹的定義和闡述。這些教材被廣泛采用，具有很高的學術權威性。
專業數學數據庫與百科：如"中國大百科全書"數學卷或權威學術數據庫（如CNKI Scholar中的核心期刊論文）中關于"數值積分"或"求積公式"的詞條或論述，通常基于規範名詞和嚴謹的數學定義。

網絡擴展解釋

“求積公式”是數值分析中的術語，指通過有限個離散點處的函數值近似計算定積分的一類方法，常用于解析解難以求出或計算複雜的積分問題。以下是其核心要點：

1.基本思想

求積公式将定積分 $int_a^b f(x)dx$ 近似表示為： $$ inta^b f(x)dx approx sum{i=1}^n A_i f(x_i) $$ 其中：

節點（$x_i$）：積分區間 $[a,b]$ 内選取的采樣點；
權系數（$A_i$）：對應節點的權重，通常通過多項式插值或正交性條件确定。

2.常見類型

牛頓-柯特斯公式：基于等距節點，如梯形法則（2節點）、辛普森法則（3節點）。
- 梯形法則：$int_a^b f(x)dx approx frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$；
- 辛普森法則：$int_a^b f(x)dx approx frac{b-a}{6}[f(a)+4f(frac{a+b}{2})+f(b)]$。
高斯求積公式：通過選擇最優節點和權值，使公式對最高次數的多項式精确成立。例如，兩點高斯公式： $$ int_{-1} f(x)dx approx fleft(-frac{1}{sqrt{3}}right) + fleft(frac{1}{sqrt{3}}right) $$ 節點為勒讓德多項式的根，權值對稱。

3.特點與選擇

代數精度：高斯公式的代數精度為 $2n-1$（$n$ 為節點數），高于牛頓-柯特斯公式的 $n-1$；
適用場景：
- 牛頓-柯特斯適合簡單、低精度需求；
- 高斯公式適合高精度或振蕩函數積分；
- 自適應求積用于被積函數變化劇烈的區域。

4.擴展應用

多重積分：通過張量積推廣到高維；
奇異積分：調整權函數處理端點發散問題；
蒙特卡洛積分：隨機采樣求積，適用于超高維積分。

若需具體公式推導或應用示例，可進一步說明場景，我将補充細節。