求积公式英文解释翻译、求积公式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 quadrature formula

分词翻译：

求的英语翻译：

beg; entreat; request; seek; try

积的英语翻译：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【医】 product

公式的英语翻译：

formula
【计】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【医】 F.; formula

专业解析

"求积公式"在数学领域，特别是在数值分析中，是一个核心概念。其对应的英文术语是Quadrature Formula。

详细解释：

基本定义：
- 中文角度："求积公式"指用于近似计算定积分值的一类数值方法或公式。其目标是通过有限个函数值的加权和来逼近积分 (int_a^b f(x) , dx) 的结果。
- 英文角度：Aquadrature formula is a numerical method designed toapproximate the definite integral of a function. It typically expresses the integral as a weighted sum of function values evaluated at specific points (nodes) within the integration interval ([a, b])。其一般形式可表示为： $$ inta^b f(x) , dx approx sum{i=0}^n w_i f(x_i) $$ 其中：
  - (x_i) 称为求积节点 (quadrature nodes)，是区间 ([a, b]) 内预先选定的点。
  - (w_i) 称为求积系数 (quadrature weights)，是与节点 (x_i) 对应的权重系数。
  - (n) 通常代表使用的节点数量或公式的阶数。
核心目的与应用：
- 近似计算：当被积函数 (f(x)) 的原函数难以求得（如函数由实验数据给出），或者积分无法用解析方法精确计算时，求积公式提供了一种有效的数值计算途径。
- 理论基础：求积公式的构造通常基于插值多项式。例如，用插值多项式 (P_n(x)) 代替被积函数 (f(x))，然后对多项式进行精确积分得到近似公式。其误差分析依赖于插值多项式的余项。
- 常见类型：根据节点选择方式的不同，求积公式主要分为两大类：
  - Newton-Cotes 公式：节点在积分区间 ([a, b]) 上等距分布。常见的有：
    - 梯形公式 (Trapezoidal Rule)：使用两个端点节点。
    - 辛普森公式 (Simpson's Rule)：使用两个端点和一个中点节点。
  - Gauss 求积公式：节点在积分区间 ([a, b]) 上非等距分布，通过选择特定的节点位置（Legendre多项式的零点）和对应的权重，使得公式具有最高的代数精度（对于不超过 (2n+1) 次的多项式能精确积分）。这是精度最高的常用求积公式。
关键术语对应：
- 求积公式 = Quadrature Formula
- 数值积分 = Numerical Integration (这是求积公式所属的更广泛领域)
- 求积节点 = Quadrature Nodes / Abscissas
- 求积系数 = Quadrature Weights
- 代数精度 = Degree of Precision / Algebraic Degree
- 梯形公式 = Trapezoidal Rule
- 辛普森公式 = Simpson's Rule
- 高斯求积公式 = Gaussian Quadrature

权威性参考来源：

全国科学技术名词审定委员会 (CNTERM)：该机构负责审定和发布中国各学科领域的规范科技名词。"求积公式"、"数值积分"、"高斯求积"等术语均为其审定的规范名词。其发布的《数学名词》等出版物是权威来源。
中国数学会 (CMS)：作为中国数学界的权威学术组织，其官方网站和出版物（如《数学学报》等期刊）是数学术语和概念的重要参考来源。数值分析是数学会关注的重要分支领域。
知名高校数学系教材：如高等教育出版社出版的《数值分析》或《数值计算方法》教材（作者如李庆扬、王能超、易大义等），对"求积公式"有系统、严谨的定义和阐述。这些教材被广泛采用，具有很高的学术权威性。
专业数学数据库与百科：如"中国大百科全书"数学卷或权威学术数据库（如CNKI Scholar中的核心期刊论文）中关于"数值积分"或"求积公式"的词条或论述，通常基于规范名词和严谨的数学定义。

网络扩展解释

“求积公式”是数值分析中的术语，指通过有限个离散点处的函数值近似计算定积分的一类方法，常用于解析解难以求出或计算复杂的积分问题。以下是其核心要点：

1.基本思想

求积公式将定积分 $int_a^b f(x)dx$ 近似表示为： $$ inta^b f(x)dx approx sum{i=1}^n A_i f(x_i) $$ 其中：

节点（$x_i$）：积分区间 $[a,b]$ 内选取的采样点；
权系数（$A_i$）：对应节点的权重，通常通过多项式插值或正交性条件确定。

2.常见类型

牛顿-柯特斯公式：基于等距节点，如梯形法则（2节点）、辛普森法则（3节点）。
- 梯形法则：$int_a^b f(x)dx approx frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$；
- 辛普森法则：$int_a^b f(x)dx approx frac{b-a}{6}[f(a)+4f(frac{a+b}{2})+f(b)]$。
高斯求积公式：通过选择最优节点和权值，使公式对最高次数的多项式精确成立。例如，两点高斯公式： $$ int_{-1} f(x)dx approx fleft(-frac{1}{sqrt{3}}right) + fleft(frac{1}{sqrt{3}}right) $$ 节点为勒让德多项式的根，权值对称。

3.特点与选择

代数精度：高斯公式的代数精度为 $2n-1$（$n$ 为节点数），高于牛顿-柯特斯公式的 $n-1$；
适用场景：
- 牛顿-柯特斯适合简单、低精度需求；
- 高斯公式适合高精度或振荡函数积分；
- 自适应求积用于被积函数变化剧烈的区域。

4.扩展应用

多重积分：通过张量积推广到高维；
奇异积分：调整权函数处理端点发散问题；
蒙特卡洛积分：随机采样求积，适用于超高维积分。

若需具体公式推导或应用示例，可进一步说明场景，我将补充细节。