譜半徑英文解釋翻譯、譜半徑的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 spectral radius

分詞翻譯：

譜的英語翻譯：

chart; compose; music; register; table
【醫】 spectrum

半徑的英語翻譯：

radii; radius; semidiameter
【計】 R
【醫】 radii; rndius

專業解析

譜半徑（Spectral Radius）是線性代數與泛函分析中的一個核心概念，尤其在矩陣理論和動力系統研究中具有重要地位。以下從漢英詞典角度進行詳細解釋：

一、術語定義

中文：譜半徑
英文：Spectral Radius

定義：對于複數域上的方陣 ( A )，其譜半徑 ( rho(A) ) 定義為矩陣所有特征值 ( lambda ) 的模的最大值，即：

$$ rho(A) = max { |lambda| : lambda text{ 是 } A text{ 的特征值} } $$

二、數學性質與應用

收斂性判據
譜半徑與矩陣幂級數的收斂性直接相關：若 ( rho(A) < 1 )，則矩陣級數 ( sum_{k=0}^{infty} A^k ) 收斂；若 ( rho(A) > 1 )，則發散。該性質在數值分析中用于疊代法的穩定性分析。

應用示例：在求解線性方程組 ( Ax=b ) 時，雅可比疊代法收斂的充要條件是系數矩陣的譜半徑小于 1。
算子理論推廣
在無窮維空間中，譜半徑可推廣為有界線性算子 ( T ) 的譜集上模的上确界：

$$ rho(T) = sup { |lambda| : lambda in sigma(T) } $$

其中 ( sigma(T) ) 是算子譜集，這一概念在量子力學和微分方程理論中有重要應用。

三、工程與計算科學中的意義

在控制系統理論中，譜半徑決定了離散時間系統的穩定性：當系統矩陣的譜半徑嚴格小于 1 時，系統漸進穩定。此外，在網絡科學中，圖的鄰接矩陣的譜半徑與圖的連通性和傳播動力學密切相關。

參考文獻

Weisstein, E. W. "Spectral Radius." MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Strang, G. Linear Algebra and Its Applications (4th ed.). Brooks/Cole, 2006.
Trefethen, L. N., & Bau, D. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997.

網絡擴展解釋

譜半徑是線性代數中與矩陣特征值相關的重要概念，具體解釋如下：

一、定義

譜半徑（Spectral Radius）指複數域上方陣$boldsymbol{A}$所有特征值的模的最大值。設$boldsymbol{A}$的特征值為$lambda_1, lambda_2, dots, lambdan$，則譜半徑定義為： $$ rho(boldsymbol{A}) = max{1 leq i leq n} |lambda_i| $$ 其中，複數特征值的模為其實部與虛部平方開方，即$|lambda_i| = sqrt{(text{Re}(lambda_i)) + (text{Im}(lambda_i))}$。

二、性質

非負性：譜半徑$rho(boldsymbol{A}) geq 0$，因為特征值的模非負。
矩陣幂的關系：$rho(boldsymbol{A}^k) = [rho(boldsymbol{A})]^k$，其中$k$為正整數。
與範數的關系：譜半徑是矩陣任意誘導範數的下界，即$rho(boldsymbol{A}) leq |boldsymbol{A}|$（$|cdot|$為矩陣範數）。
連續性：譜半徑是矩陣元素的連續函數，可通過數值方法近似計算。

三、應用

數值分析：在疊代法（如求解線性方程組的雅可比疊代）中，譜半徑用于判斷收斂性（當$rho(boldsymbol{A}) < 1$時疊代收斂）。
穩定性研究：在動力系統和控制理論中，譜半徑與系統穩定性密切相關。

四、計算方法

步驟：
- 計算矩陣$boldsymbol{A}$的所有特征值；
- 求每個特征值的模；
- 取最大模作為譜半徑。
示例：若矩陣特征值為$1+2i$和$2+i$，則模分别為$sqrt{5}$和$sqrt{5}$，譜半徑為$sqrt{5}$。

五、與其他概念的區别

普通半徑：幾何中的半徑指圓心到圓周的線段長度，而譜半徑是矩陣特征值的模的極值，屬于線性代數範疇。

如需進一步了解譜半徑的數值計算或具體應用場景，可參考權威數學教材或數值分析資料。