谱半径英文解释翻译、谱半径的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 spectral radius

分词翻译：

谱的英语翻译：

chart; compose; music; register; table
【医】 spectrum

半径的英语翻译：

radii; radius; semidiameter
【计】 R
【医】 radii; rndius

专业解析

谱半径（Spectral Radius）是线性代数与泛函分析中的一个核心概念，尤其在矩阵理论和动力系统研究中具有重要地位。以下从汉英词典角度进行详细解释：

一、术语定义

中文：谱半径
英文：Spectral Radius

定义：对于复数域上的方阵 ( A )，其谱半径 ( rho(A) ) 定义为矩阵所有特征值 ( lambda ) 的模的最大值，即：

$$ rho(A) = max { |lambda| : lambda text{ 是 } A text{ 的特征值} } $$

二、数学性质与应用

收敛性判据
谱半径与矩阵幂级数的收敛性直接相关：若 ( rho(A) < 1 )，则矩阵级数 ( sum_{k=0}^{infty} A^k ) 收敛；若 ( rho(A) > 1 )，则发散。该性质在数值分析中用于迭代法的稳定性分析。

应用示例：在求解线性方程组 ( Ax=b ) 时，雅可比迭代法收敛的充要条件是系数矩阵的谱半径小于 1。
算子理论推广
在无穷维空间中，谱半径可推广为有界线性算子 ( T ) 的谱集上模的上确界：

$$ rho(T) = sup { |lambda| : lambda in sigma(T) } $$

其中 ( sigma(T) ) 是算子谱集，这一概念在量子力学和微分方程理论中有重要应用。

三、工程与计算科学中的意义

在控制系统理论中，谱半径决定了离散时间系统的稳定性：当系统矩阵的谱半径严格小于 1 时，系统渐进稳定。此外，在网络科学中，图的邻接矩阵的谱半径与图的连通性和传播动力学密切相关。

参考文献

Weisstein, E. W. "Spectral Radius." MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Strang, G. Linear Algebra and Its Applications (4th ed.). Brooks/Cole, 2006.
Trefethen, L. N., & Bau, D. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997.

网络扩展解释

谱半径是线性代数中与矩阵特征值相关的重要概念，具体解释如下：

一、定义

谱半径（Spectral Radius）指复数域上方阵$boldsymbol{A}$所有特征值的模的最大值。设$boldsymbol{A}$的特征值为$lambda_1, lambda_2, dots, lambdan$，则谱半径定义为： $$ rho(boldsymbol{A}) = max{1 leq i leq n} |lambda_i| $$ 其中，复数特征值的模为其实部与虚部平方开方，即$|lambda_i| = sqrt{(text{Re}(lambda_i)) + (text{Im}(lambda_i))}$。

二、性质

非负性：谱半径$rho(boldsymbol{A}) geq 0$，因为特征值的模非负。
矩阵幂的关系：$rho(boldsymbol{A}^k) = [rho(boldsymbol{A})]^k$，其中$k$为正整数。
与范数的关系：谱半径是矩阵任意诱导范数的下界，即$rho(boldsymbol{A}) leq |boldsymbol{A}|$（$|cdot|$为矩阵范数）。
连续性：谱半径是矩阵元素的连续函数，可通过数值方法近似计算。

三、应用

数值分析：在迭代法（如求解线性方程组的雅可比迭代）中，谱半径用于判断收敛性（当$rho(boldsymbol{A}) < 1$时迭代收敛）。
稳定性研究：在动力系统和控制理论中，谱半径与系统稳定性密切相关。

四、计算方法

步骤：
- 计算矩阵$boldsymbol{A}$的所有特征值；
- 求每个特征值的模；
- 取最大模作为谱半径。
示例：若矩阵特征值为$1+2i$和$2+i$，则模分别为$sqrt{5}$和$sqrt{5}$，谱半径为$sqrt{5}$。

五、与其他概念的区别

普通半径：几何中的半径指圆心到圆周的线段长度，而谱半径是矩阵特征值的模的极值，属于线性代数范畴。

如需进一步了解谱半径的数值计算或具体应用场景，可参考权威数学教材或数值分析资料。