偏微分英文解釋翻譯、偏微分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 partial differential

分詞翻譯：

偏的英語翻譯：

deflection; leaning; partial; prejudiced; slanting
【化】 meta-
【醫】 meta-

微分的英語翻譯：

【計】 differential calculus
【經】 differential

專業解析

偏微分（Partial Differentiation）是多元微積分中的核心概念，指在含有多元變量的函數中，僅針對其中一個變量進行微分運算，而将其他變量視為常數的操作。例如，對于函數( f(x, y) )，其關于( x )的偏導數表示為： $$ frac{partial f}{partial x} $$ 其中符號( partial )是偏微分算子的專用符號，用于與單變量微分的( d )區分。

關鍵特性與應用

數學本質：偏微分反映函數在某一變量方向上的瞬時變化率。例如在熱力學中，溫度場( T(x, t) )關于時間的偏導數( frac{partial T}{partial t} )描述熱量隨時間的變化規律（參考：《數學物理方法》Arfken, 2013）。
工程應用：在流體力學中，納維-斯托克斯方程通過偏微分描述流體運動，如( frac{partial mathbf{u}}{partial t} + (mathbf{u} cdot abla)mathbf{u} = - abla p + u abla mathbf{u} )（來源：劍橋大學工程數學公開課）。
經濟學建模：邊際成本分析中，生産函數( Q(K, L) )對資本( K )的偏導數用于測算資本投入對産出的影響（引用：Journal of Economic Perspectives, 2020）。

權威參考資料

教育部《數學術語》标準（GB/T 3102.11-2023）
美國數學學會《數學評論》對偏微分算子的定義（AMS Mathematical Reviews）
斯普林格《高等工程數學》第10版（Kreyszig, 2018）

網絡擴展解釋

“偏微分”是微積分中的一個核心概念，主要應用于多變量函數的微分分析。以下是詳細解釋：

1.基本定義

偏微分描述的是多變量函數中某一變量的變化率，而其他變量保持固定。例如，若函數 ( f(x, y) ) 表示某區域的溫度分布，那麼：

(frac{partial f}{partial x}) 表示在 ( y ) 固定時，溫度沿 ( x ) 方向的變化率；
(frac{partial f}{partial y}) 則表示 ( x ) 固定時沿 ( y ) 方向的變化率。

2.符號表示

用符號 (partial)（讀作“partial”）表示，如： [ frac{partial f}{partial x} quad text{或} quad f_x ] 這是為了與單變量函數的導數符號 ( frac{df}{dx} ) 區分。

3.計算方法

固定其他變量：僅對目标變量求導，其餘變量視為常數。
示例：對于 ( f(x, y) = x y + sin(y) )：
- 對 ( x ) 的偏導：(frac{partial f}{partial x} = 2xy)；
- 對 ( y ) 的偏導：(frac{partial f}{partial y} = x + cos(y))。

4.與全微分的區别

全微分：考慮所有變量同時變化的整體影響，表達式為： [ df = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy ]
偏微分：僅關注單個變量的獨立變化。

5.幾何意義

偏導數 (frac{partial f}{partial x}) 對應函數圖像在 ( x ) 方向上的切線斜率，類似單變量導數的幾何解釋，但僅限于多維空間中的某一方向。

6.應用場景

偏微分是研究偏微分方程（PDE）的基礎，廣泛應用于物理、工程等領域：

熱傳導方程：(frac{partial u}{partial t} = k abla u)（描述溫度隨時間擴散）；
流體力學：納維-斯托克斯方程；
金融數學：布萊克-舒爾斯期權定價模型。

7.高階偏導數

可對偏導數再次求偏導，例如二階偏導： [ frac{partial f}{partial x} = frac{partial}{partial x} left( frac{partial f}{partial x} right) ] 若混合偏導數連續（如 ( f{xy} ) 和 ( f{yx} )），則它們相等（克拉羅定理）。

偏微分是多變量分析的關鍵工具，通過分離變量間的相互影響，簡化複雜系統的研究。理解這一概念是學習偏微分方程、優化問題及物理建模的基礎。