偏微分英文解释翻译、偏微分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 partial differential

分词翻译：

偏的英语翻译：

deflection; leaning; partial; prejudiced; slanting
【化】 meta-
【医】 meta-

微分的英语翻译：

【计】 differential calculus
【经】 differential

专业解析

偏微分（Partial Differentiation）是多元微积分中的核心概念，指在含有多元变量的函数中，仅针对其中一个变量进行微分运算，而将其他变量视为常数的操作。例如，对于函数( f(x, y) )，其关于( x )的偏导数表示为： $$ frac{partial f}{partial x} $$ 其中符号( partial )是偏微分算子的专用符号，用于与单变量微分的( d )区分。

关键特性与应用

数学本质：偏微分反映函数在某一变量方向上的瞬时变化率。例如在热力学中，温度场( T(x, t) )关于时间的偏导数( frac{partial T}{partial t} )描述热量随时间的变化规律（参考：《数学物理方法》Arfken, 2013）。
工程应用：在流体力学中，纳维-斯托克斯方程通过偏微分描述流体运动，如( frac{partial mathbf{u}}{partial t} + (mathbf{u} cdot abla)mathbf{u} = - abla p + u abla mathbf{u} )（来源：剑桥大学工程数学公开课）。
经济学建模：边际成本分析中，生产函数( Q(K, L) )对资本( K )的偏导数用于测算资本投入对产出的影响（引用：Journal of Economic Perspectives, 2020）。

权威参考资料

教育部《数学术语》标准（GB/T 3102.11-2023）
美国数学学会《数学评论》对偏微分算子的定义（AMS Mathematical Reviews）
斯普林格《高等工程数学》第10版（Kreyszig, 2018）

网络扩展解释

“偏微分”是微积分中的一个核心概念，主要应用于多变量函数的微分分析。以下是详细解释：

1.基本定义

偏微分描述的是多变量函数中某一变量的变化率，而其他变量保持固定。例如，若函数 ( f(x, y) ) 表示某区域的温度分布，那么：

(frac{partial f}{partial x}) 表示在 ( y ) 固定时，温度沿 ( x ) 方向的变化率；
(frac{partial f}{partial y}) 则表示 ( x ) 固定时沿 ( y ) 方向的变化率。

2.符号表示

用符号 (partial)（读作“partial”）表示，如： [ frac{partial f}{partial x} quad text{或} quad f_x ] 这是为了与单变量函数的导数符号 ( frac{df}{dx} ) 区分。

3.计算方法

固定其他变量：仅对目标变量求导，其余变量视为常数。
示例：对于 ( f(x, y) = x y + sin(y) )：
- 对 ( x ) 的偏导：(frac{partial f}{partial x} = 2xy)；
- 对 ( y ) 的偏导：(frac{partial f}{partial y} = x + cos(y))。

4.与全微分的区别

全微分：考虑所有变量同时变化的整体影响，表达式为： [ df = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy ]
偏微分：仅关注单个变量的独立变化。

5.几何意义

偏导数 (frac{partial f}{partial x}) 对应函数图像在 ( x ) 方向上的切线斜率，类似单变量导数的几何解释，但仅限于多维空间中的某一方向。

6.应用场景

偏微分是研究偏微分方程（PDE）的基础，广泛应用于物理、工程等领域：

热传导方程：(frac{partial u}{partial t} = k abla u)（描述温度随时间扩散）；
流体力学：纳维-斯托克斯方程；
金融数学：布莱克-舒尔斯期权定价模型。

7.高阶偏导数

可对偏导数再次求偏导，例如二阶偏导： [ frac{partial f}{partial x} = frac{partial}{partial x} left( frac{partial f}{partial x} right) ] 若混合偏导数连续（如 ( f{xy} ) 和 ( f{yx} )），则它们相等（克拉罗定理）。

偏微分是多变量分析的关键工具，通过分离变量间的相互影响，简化复杂系统的研究。理解这一概念是学习偏微分方程、优化问题及物理建模的基础。