雙正交關系英文解釋翻譯、雙正交關系的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 biorthogonality relation

分詞翻譯：

雙的英語翻譯：

both; double; even; twin; two; twofold
【化】 dyad
【醫】 amb-; ambi-; ambo-; bi-; bis-; di-; diplo-; par

正交關系的英語翻譯：

【計】 orthogonality relation

專業解析

在數學和工程領域（尤其是信號處理與小波分析中），雙正交關系（Biorthogonality）指的是一對函數序列或向量序列之間滿足的特殊正交條件。以下是詳細解釋：

一、術語定義與核心概念

漢英對照
- 中文：雙正交關系
- 英文：Biorthogonality
- 核心含義：兩組序列 ({ phi_n }) 與 ({ tilde{phi}_m }) 滿足交叉内積為克羅内克δ函數：
  $$ langle phi_n, tilde{phi}m rangle = delta{nm} = begin{cases} 1 & text{if } n=m 0 & text{otherwise} end{cases} $$
與标準正交的區别
- 标準正交性要求同一序列自内積滿足 (langle phi_n, phim rangle = delta{nm})，而雙正交性涉及兩組不同序列的相互正交性，靈活性更高，常見于非對稱系統設計。

二、工程應用場景

雙正交小波基
在信號處理中，雙正交小波（如Cohen-Daubechies-Feauveau小波）使用一對不同的尺度函數與小波函數（(phi, psi) 和 (tilde{phi}, tilde{psi})），滿足：

$$ langle psi{j,k}, tilde{psi}{m,n} rangle = delta{jm} delta{kn} $$

這一特性允許在保留對稱性（利于圖像處理）的同時實現完美信號重構。
線性系統求解
在數值分析中，雙正交向量基可用于構造投影算法，例如求解微分方程時通過Petrov-Galerkin方法降低計算複雜度。

三、數學性質與優勢

冗餘自由度：雙正交系統不要求序列自身正交，可設計更靈活的基函數（如具有線性相位的濾波器）。
對偶性：序列 ({ phi_n }) 與 ({ tilde{phi}_m }) 互為對偶框架，其Gram矩陣為單位陣，确保投影穩定性。
典型示例：Legendre多項式與對偶基在邊界條件處理中的應用。

四、權威參考文獻

教材
Daubechies, I. (1992). Ten Lectures on Wavelets. SIAM.

（第4章詳解雙正交小波構造）

論文
Cohen, A., Daubechies, I., & Feauveau, J. (1992). Biorthogonal Bases of Compactly Supported Wavelets. Communications on Pure and Applied Mathematics, 45(5), 485–560.

工具書
Mallat, S. (2009). A Wavelet Tour of Signal Processing (3rd ed.). Academic Press.

（第7章讨論雙正交濾波器組設計）

網絡擴展解釋

雙正交關系（Biorthogonality）是線性代數與信號處理中的核心概念，指兩組基向量之間滿足特定的正交性條件。以下是其關鍵點解析：

1.基本定義

雙正交關系描述的是兩組不同基向量之間的正交性。具體來說：

若存在兩組基向量 ${phi_i}$ 和 ${psi_j}$，當且僅當 $i eq j$ 時，滿足内積 $langle phi_i, psi_j rangle = 0$，而 $langle phi_i, psi_i rangle eq 0$，則這兩組基稱為雙正交基。
每一組基内部不一定滿足正交性，這是與标準正交基的關鍵區别。

2.與正交基的關系

正交基是雙正交關系的特例：若基向量 ${phi_i}$ 滿足自身内積 $langle phi_i, phi_j rangle = 0$（$i eq j$），則其對偶基即自身，此時雙正交關系退化為正交關系。

3.數學性質

對偶基的唯一性：當基向量 ${phi_i}$ 線性無關且完備時，存在唯一的對偶基 ${psi_j}$，使得雙正交關系成立。
冗餘性與标架（Frame）：若基向量線性相關，則對偶基不唯一，此時基向量構成“标架”，用于冗餘信號表示（如小波分析）。

4.應用領域

信號分解：在非正交基（如Gabor基）中，利用雙正交關系可實現信號的無損重建。
數值計算：解決線性方程組時，雙正交基可簡化投影運算。

術語對照

英文翻譯為Biorthogonality（對應“雙正交性”）。

總結來說，雙正交關系通過兩組互補的基向量擴展了正交基的應用範圍，尤其適用于非正交系統的分析與重構。