克魯斯卡算法英文解釋翻譯、克魯斯卡算法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 kruskal's algorithm

分詞翻譯：

克的英語翻譯：

gram; gramme; overcome; restrain
【醫】 G.; Gm.; gram; gramme

魯的英語翻譯：

rash; rude; stupid

斯的英語翻譯：

this
【化】 geepound

卡的英語翻譯：

block; calorie; checkpost; clip; get stuck; wedge
【化】 calorie
【醫】 c.; cal.; calorie; calory; chi; small calorie

算法的英語翻譯：

algorithm; arithmetic
【計】 ALG; algorithm; D-algorithm; Roth's D-algorithm
【化】 algorithm
【經】 algorithm

專業解析

克魯斯卡算法（Kruskal's Algorithm）是一種用于在加權連通圖中尋找最小生成樹（Minimum Spanning Tree, MST）的經典貪心算法。其核心目标是以最小的總邊權值連接圖中的所有頂點，同時避免形成環路，最終生成一棵樹。

1.算法定義與核心思想 (Definition & Core Idea)

漢英對照：最小生成樹 (Minimum Spanning Tree, MST) / 貪心算法 (Greedy Algorithm) / 加權圖 (Weighted Graph) / 連通圖 (Connected Graph) / 環路檢測 (Cycle Detection)。
核心思想：算法從圖中所有邊構成的集合出發（初始時 MST 為空）。它重複地選擇當前未加入 MST 且權值最小的邊，并将該邊加入 MST，但僅當加入這條邊不會在當前的 MST 中形成環路時才進行。這個過程持續進行，直到 MST 包含了圖中所有的頂點（即包含 V-1 條邊，V 為頂點數）。

2.算法詳細步驟 (Step-by-Step Procedure)

排序邊 (Sort Edges): 将圖中所有的邊按照權值（權重）從小到大進行排序。
初始化 (Initialize): 創建一個空的集合 MST 用于存放最終的最小生成樹的邊。為每個頂點創建一個隻包含自身的集合（代表一個獨立的連通分量）。
疊代選擇邊 (Iterate & Select Edges):
- 按權值從小到大的順序遍曆每條邊。
- 對于當前邊 (u, v)：
  - 查找 (Find): 檢查頂點 u 和頂點 v 當前所屬的連通分量（集合）。
  - 比較 (Compare): 如果 u 和 v 屬于不同的連通分量（即 Find(u) != Find(v)），則：
    - 将邊 (u, v) 加入 MST。
    - 合并 (Union): 将 u 和 v 所屬的兩個連通分量合并成一個。
- 如果 u 和 v 屬于相同的連通分量（即 Find(u) == Find(v)），則加入這條邊會形成環路，因此跳過這條邊。
終止條件 (Termination): 當 MST 中包含 V-1 條邊（其中 V 是圖的頂點總數）時，算法終止。此時 MST 即為所求的最小生成樹。

3.關鍵技術與應用 (Key Techniques & Applications)

環路檢測 (Cycle Detection): 步驟 3 中判斷 u 和 v 是否屬于同一連通分量是算法的核心，這通常通過并查集 (Disjoint Set Union, DSU 或 Union-Find) 數據結構高效實現。并查集支持快速的 Find（查找所屬集合代表元）和 Union（合并兩個集合）操作。
時間複雜度 (Time Complexity):
- 排序邊：$O(E log E)$，其中 E 是邊的數量。
- 并查集操作（假設使用路徑壓縮和按秩合并）：近似 $O(alpha(V))$ 每次操作，其中 $alpha$ 是增長極慢的反阿克曼函數。
- 總時間複雜度主要取決于排序：$O(E log E)$ 或等價于 $O(E log V)$（因為 $E < V$, $log E < 2 log V$）。
應用場景 (Applications): 克魯斯卡算法廣泛應用于需要以最低成本連接多個點的問題，例如：
- 計算機網絡設計（連接所有服務器或路由器的最低成本布線）。
- 交通網絡規劃（連接城市的最低成本公路或鐵路）。
- 電路設計（連接元件引腳的最低成本布線）。
- 集群分析（将數據點分組）。

4.與普裡姆算法的比較 (Comparison with Prim's Algorithm)

克魯斯卡算法和普裡姆算法 (Prim's Algorithm) 是求解 MST 的兩個最著名算法。主要區别在于：

操作對象：克魯斯卡算法以邊為中心，不斷選擇最小權值的邊；普裡姆算法以頂點為中心，從一個頂點開始逐步“生長” MST。
適用圖類型：兩者都適用于無向連通加權圖。普裡姆算法在稠密圖（邊數 E 接近頂點數 V 的平方）上通常更高效（使用鄰接矩陣和優先隊列時可達 $O(V)$），而克魯斯卡算法在稀疏圖（E 遠小于 $V$）上因其 $O(E log E)$ 的複雜度而更具優勢。
實現依賴：克魯斯卡算法核心依賴并查集進行高效的連通分量管理；普裡姆算法核心依賴優先隊列（最小堆）來選擇下一個頂點和邊。

參考文獻 (References):

Kruskal's Algorithm - Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%27s_algorithm (算法概述、僞代碼、曆史、複雜度分析)
Kruskal's Minimum Spanning Tree (MST) Algorithm | GeeksforGeeks. https://www.geeksforgeeks.org/kruskals-minimum-spanning-tree-algorithm-greedy-algo-2/ (詳細步驟解釋、圖解、代碼實現、複雜度)
Introduction to Algorithms (算法導論) by Cormen, Leiserson, Rivest, Stein. Chapter 23 Minimum Spanning Trees. (權威教材，包含嚴格的算法描述、正确性證明和複雜度分析)
Disjoint-set data structure (Union-Find) - Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint-set_data_structure (克魯斯卡算法依賴的核心數據結構原理)

網絡擴展解釋

克魯斯卡爾算法（Kruskal's Algorithm）是一種用于求解帶權無向圖的最小生成樹（MST）的貪心算法。以下從多個角度詳細解釋其核心概念和實現邏輯：

一、算法定義與用途

最小生成樹指包含圖中所有頂點的樹，且樹中邊的權重之和最小。該算法常用于通信網絡設計、交通規劃等場景，以經濟高效的方式連接所有節點。

二、核心思想

貪心策略：按邊權值從小到大排序，依次選擇不構成回路的邊，直到選出(n-1)條邊（(n)為頂點數）。
回路檢測：通過并查集（Union-Find）數據結構判斷新加入的邊是否會導緻環路，确保生成樹無環。

三、實現步驟

初始化：将圖中所有邊按權值升序排列。
構建森林：初始時每個頂點自成一個連通分量（即單節點樹）。
疊代選邊：
- 依次選取權值最小的邊。
- 若該邊連接的兩個頂點屬于不同連通分量，則加入生成樹，并合并這兩個分量。
- 若屬于同一分量（形成回路），則跳過。
終止條件：當生成樹包含(n-1)條邊時結束。

四、示例說明

以包含6個頂點的圖為例（參考）：

第1步選邊(E-F)（權值最小）；
後續依次選(C-D)、(D-E)等，跳過會形成環的邊（如(C-E)）；
最終生成樹包含6條邊，總權值最小。

五、時間複雜度與適用場景

時間複雜度：主要消耗在邊排序（(O(E log E))）和并查集操作（近似(O(E alpha(V)))），總複雜度為(O(E log E))。
適用性：適合邊稀疏的圖（邊數遠小于頂點數平方），而Prim算法更適合稠密圖。

六、對比其他算法

與Prim算法的差異：

數據操作：Prim基于頂點擴展，需維護頂點集合；Kruskal基于邊排序，依賴并查集。
效率：Kruskal在稀疏圖中更高效，Prim在稠密圖中表現更優。

如需進一步了解具體代碼實現或數學證明，可參考上述來源中的詳細示例（如的步驟解析或的複雜度推導）。